ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Тест состоит из 8 вопросов. Вероятность того, что ученик правильно ответит на отдельно взятый вопрос, равна 80%. Найдите вероятность того, что ученик правильно ответит ровно на 5 вопросов.

Ученик ответит с вероятностью \( p = 0.8 \);
Знает ответ на пять вопросов из восьми:
\( P = C_5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3 \);
\( P = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} \cdot 0.00264 = 0.1456 \approx 15\% \);
Ответ: \( 15\% \).

ученик отвечает на вопрос с вероятностью \( p = 0.8 \).
он знает ответ на пять вопросов из восьми. вероятность этого события можно вычислить по формуле:

\(
P = C_5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3
\)

где \( C_5 \) — число сочетаний из восьми по пять. оно вычисляется по формуле:

\(
C_5 = \frac{8!}{5! \cdot 3!}
\)

подставим это выражение в формулу для вероятности:

\(
P = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3
\)

распишем факториалы:

\(
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\)
\(
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\)
\(
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1
\)

упростим дробь:

\(
\frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2}
\)

посчитаем:

\(
\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = \frac{336}{6} = 56
\)

теперь подставим это значение обратно:

\(
P = 56 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3
\)

вычислим степени:

\(
(0.8)^5 = 0.32768, \quad (0.2)^3 = 0.008
\)

подставим эти значения:

\(
P = 56 \cdot 0.32768 \cdot 0.008
\)

посчитаем произведение:

\(
P = 56 \cdot 0.00262144 = 0.1468
\)

округлим до двух значащих цифр:

\(
P \approx 0.15
\)

переведем в проценты:

\(
P \approx 15\%
\)

ответ: \( 15\% \).