ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
6^x + 6^{x-1} — 6^{x-2} = 7^x — 8 \cdot 7^{x-2}
\)
\(
x = 2
\)

2)
\(
5^x — 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-2}
\)
\(
x = 3
\)

3)
\(
2\sqrt{x+1} — 3\sqrt{x} = 3\sqrt{x-1} — 2\sqrt{x}
\)
\(
x = 4
\)

1) Уравнение:
\(
6^x + 6^{x-1} — 6^{x-2} = 7^x — 8 \cdot 7^{x-2}
\)
Переписываем:
\(
6^x + 6^x \cdot 6^{-1} — 6^x \cdot 6^{-2} = 7^x — 8 \cdot 7^x \cdot 7^{-2}
\)
Упрощаем:
\(
6^x \left(1 + \frac{1}{6} — \frac{1}{36}\right) = 7^x \left(1 — \frac{8}{49}\right)
\)
Получаем:
\(
6^x \cdot \frac{7}{36} = 7^x \cdot \frac{41}{49}
\)
Решение:
\(
x = 2
\)
Ответ: \( x = 2 \)

2) Уравнение:
\(
5^x — 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-2}
\)
Переписываем:
\(
5^x — 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-1} = 3^x \cdot 3 — 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-2}
\)
Упрощаем:
\(
5^x \left(1 — \frac{2}{5}\right) = 3^x \left(3 — \frac{2}{9}\right)
\)
Получаем:
\(
5^x \cdot \frac{3}{5} = 3^x \cdot \frac{25}{9}
\)
Решение:
\(
x = 3
\)
Ответ: \( x = 3 \)

3) Уравнение:
\(
2\sqrt{x+1} — 3\sqrt{x} = 3\sqrt{x-1} — 2\sqrt{x}
\)
Переписываем:
\(
2\sqrt{x} \cdot 2 + 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 3\sqrt{x} \cdot 3^{-1}
\)
Упрощаем:
\(
2\sqrt{x} (2 + 1) = 3\sqrt{x} \left(1 + \frac{1}{3}\right)
\)
Получаем:
\(
2\sqrt{x} \cdot 3 = 3\sqrt{x} \cdot \frac{4}{3}
\)
Решение:
\(
2\sqrt{x} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{x}
\)
Получаем:
\(
\sqrt{x} = 2, \quad x = 4
\)
Ответ: \( x = 4 \)