Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение
\(
\sqrt{4^x — 2^x — 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x — 7}
\)
\(
\sqrt{4^x — 2^x — 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x — 7}
\)
\(
4^x — 2^x — 3 = 4 \cdot 2^x — 7
\)
\(
4^x — 2^x — 3 — 4 \cdot 2^x + 7 = 0
\)
\(
4^x — 5 \cdot 2^x + 4 = 0
\)
\(
(2^x)^2 — 5 \cdot 2^x + 4 = 0
\)
\(
y^2 — 5y + 4 = 0
\)
\(
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\)
\(
y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\)
\(
2^{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 0, \quad 2^{x_2} = 4 \Rightarrow x_2 = 2
\)
Проверим корни:
Для \(x_1 = 0\):
\(
4 \cdot 2^{0} — 7 = 4 — 7 = -3
\)
Для \(x_2 = 2\):
\(
4 \cdot 2^{2} — 7 = 16 — 7 = 9
\)
Ответ:
\(
x = 2
\)
Исходное уравнение:
\(
\sqrt{4^x — 2^x — 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x — 7}
\)
Квадратируем обе стороны:
\(
4^x — 2^x — 3 = 4 \cdot 2^x — 7
\)
Переписываем уравнение:
\(
4^x — 2^x — 3 — 4 \cdot 2^x + 7 = 0
\)
Упрощаем:
\(
4^x — 5 \cdot 2^x + 4 = 0
\)
Заменим \(4^x\) на \((2^x)^2\):
\(
(2^x)^2 — 5 \cdot 2^x + 4 = 0
\)
Обозначим \(y = 2^x\), тогда уравнение принимает вид:
\(
y^2 — 5y + 4 = 0
\)
Находим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\)
Находим корни:
\(
y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\)
Теперь возвращаемся к \(x\):
\(
2^{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 0, \quad 2^{x_2} = 4 \Rightarrow x_2 = 2
\)
Проверим корни:
Для \(x_1 = 0\):
\(
4 \cdot 2^0 — 7 = 4 — 7 = -3
\)
Для \(x_2 = 2\):
\(
4 \cdot 2^2 — 7 = 16 — 7 = 9
\)
Ответ:
\(
x = 2
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!