ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\( 0.4^{(x^2 — x — 6)} = 1 \)
\( \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3} \)
\( 0.7^x = 2 \cdot \frac{2}{49} \)
\( 9^{-x} = 27 \)
\( \sqrt{2^x} = 8^{-\frac{2}{3}} \)
\( \left(\frac{2}{9}\right)^{(2x + 3)} = 4.5^{(x — 2)} \)
\( 100^x = 0.01 \cdot \sqrt{10} \)
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64} \)
\( 2^{(x-1)} \cdot 3^{(x-1)} = \frac{1}{36} \cdot 6^{(2x + 5)} \)
\( 32^{\left(\frac{3}{5}x — 2\right)} = 4^{(6 — \frac{3}{2}x)} \)
\( 3^{(x^2 — 9)} = 7^{(x^2 — 9)} \)
\( 16^{(5 — 3x)} = 0.125^{(5x — 6)} \)

1. \( 0.4^{(x^2 — x — 6)} = 1 \)
\( x^2 — x — 6 = 0 \)
\( (x — 3)(x + 2) = 0 \)
\( x = 3 \) или \( x = -2 \)

2. \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3} \)
\( x = -1 \)

3. \( 0.7^x = 2 \cdot \frac{2}{49} \)
\( 0.7^x = \frac{4}{49} \)
\( x = -2 \)

4. \( 9^{-x} = 27 \)
\( -2x = 3 \)
\( x = -\frac{3}{2} \)

5. \( \sqrt{2^x} = 8^{-\frac{2}{3}} \)
\( 2^{\frac{x}{2}} = 2^{-2} \)
\( x = -4 \)

6. \( \left(\frac{2}{9}\right)^{(2x + 3)} = 4.5^{(x — 2)} \)
\( x = -\frac{1}{3} \)

7. \( 100^x = 0.01 \cdot \sqrt{10} \)
\( x = -0.75 \)

8. \( \left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64} \)
\( x = 3 \)

9. \( 2^{(x-1)} \cdot 3^{(x-1)} = \frac{1}{36} \cdot 6^{(2x + 5)} \)
\( x = -4 \)

10. \( 32^{\left(\frac{3}{5}x — 2\right)} = 4^{(6 — \frac{3}{2}x)} \)
\( x = \frac{11}{3} \)

11. \( 3^{(x^2 — 9)} = 7^{(x^2 — 9)} \)
\( x^2 — 9 = 0 \)
\( x = 3 \) или \( x = -3 \)

12. \( 16^{(5 — 3x)} = 0.125^{(5x — 6)} \)
\( x = -\frac{2}{3} \)

1. \( 0.4^{(x^2 — x — 6)} = 1 \)

Поскольку любое число в степени 0 равно 1, то:
\(
x^2 — x — 6 = 0
\)
Решим это квадратное уравнение:
\(
(x — 3)(x + 2) = 0 \ — x = 3 \text{ или } x = -2
\)

2. \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3} \)

Перепишем уравнение в логарифмической форме:
\(
x = -1
\)

3. \( 0.7^x = 2 \cdot \frac{2}{49} \)

Упростим правую часть:
\(
0.7^x = \frac{4}{49} = \left(\frac{7}{10}\right)^2
\)
Таким образом, \( x = -2 \).

4. \( 9^{-x} = 27 \)

Запишем \( 9 \) и \( 27 \) в виде степеней:
\(
(3^2)^{-x} = 3^3 \ — 3^{-2x} = 3^3
\]
Следовательно, \( -2x = 3 \ — x = -\frac{3}{2} \).

5. \( \sqrt{2^x} = 8^{-\frac{2}{3}} \)

Перепишем \( 8 \):
\(
(2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2}
\)
Таким образом, \( 2^{\frac{x}{2}} = 2^{-2} \ — \frac{x}{2} = -2 \ — x = -4 \).

6. \( \left(\frac{2}{9}\right)^{(2x + 3)} = 4.5^{(x — 2)} \)

Перепишем уравнение, используя степени:
\(
\left(\frac{2}{3^2}\right)^{(2x + 3)} = \left(2^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)^{(x — 2)}
\)
Упрощая, получаем:
\(
\frac{2^{(2x + 3)}}{3^{2(2x + 3)}} = 2^{2(x — 2)} \cdot 3^{\frac{1}{2}(x — 2)}
\)
Сравнивая показатели степеней для \(2\) и \(3\), получаем систему уравнений:
\(
2x + 3 = 2(x — 2) \ — 2x + 3 = 2x — 4 \ — 3 = -4 \text{ (нет решений)}
\)
Для \(3\):
\(
-2(2x + 3) = \frac{1}{2}(x — 2)
\)
После решения, получаем \(x = -\frac{1}{3}\).

7. \( 100^x = 0.01 \cdot \sqrt{10} \)

Запишем \( 100^x = 10^{2x} \) и \( 0.01 = 10^{-2}, \sqrt{10} = 10^{0.5} \):
\(
10^{2x} = 10^{-2 + 0.5} = 10^{-1.5}
\)
Таким образом, \( 2x = -1.5 \ — x = -0.75 \).

8. \( \left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64} \)

Упростим:
\(
\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8}\right)^x = \left(\frac{5}{4}\right)^x
\)
Таким образом, уравнение становится:
\(
\left(\frac{5}{4}\right)^x = \left(\frac{5}{4}\right)^3
\)
Следовательно, \( x = 3 \).

9. \( 2^{(x-1)} \cdot 3^{(x-1)} = \frac{1}{36} \cdot 6^{(2x + 5)} \)

Перепишем \( 6^{(2x + 5)} = (2\cdot3)^{(2x + 5)} = 2^{(2x + 5)}\cdot3^{(2x + 5)}\):
Уравнение становится:
\(
2^{(x-1)}\cdot3^{(x-1)}=\frac{1}{36}\cdot(2^{(2x+5)}\cdot3^{(2x+5)})
\)
После упрощения, найдем \( x = -4\).

10. \( 32^{\left(\frac{3}{5}x — 2\right)} = 4^{(6 — \frac{3}{2}x)} \)

Записываем в виде степеней двойки:
\(
(2^5)^{\left(\frac{3}{5}x — 2\right)} = (2^2)^{(6 — \frac{3}{2}x)}
\)
Упрощаем:
\(
2^{5\left(\frac{3}{5}x — 2\right)} = 2^{2(6 — \frac{3}{2}x)}
\)
Сравниваем показатели:
\(
3x — 10 = 12 — 3x
\)
Решая, получаем:
\(
6x = 22 \ — x = \frac{11}{3}.
\)

11. \( 3^{(x^2 — 9)} = 7^{(x^2 — 9)}\)

Поскольку основание разное, то:
\( x^2 — 9 = 0\)
Решаем уравнение:
\( (x — 3)(x + 3) = 0\)
Таким образом, \( x=3\) или \( x=-3\).

12. \( 16^{(5 — 3x)} = 0.125^{(5x — 6)} \)

Записываем в виде степеней двойки:
\(
(2^4)^{(5 — 3x)} = (2^{-3})^{(5x — 6)}
\)
Упрощаем:
\(
2^{4(5 — 3x)} = 2^{-3(5x — 6)}
\)
Сравниваем показатели:
\(
20 — 12x = -15x + 18
\)
Решая, получаем:
\(
3x = -2 \ — x = -\frac{2}{3}.
\)