ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
v(1 + 3^x — 9^x) = v(4 — 3 \cdot 3^x)
\)

\(
\sqrt{1 + 3x — 9x} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3^x}
\)

\(
1 + 3x — 9x = 4 — 9x
\)

\(
1 — 6x = 4
\)
\(
-6x = 3
\)
\(
x = -\frac{1}{2}
\)

\(
x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3}{5}
\)

\(
\sqrt{1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}
\)

\(
x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3}{5}
\)

Исходное уравнение:

\(
\sqrt{1 + 3x — 9x} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3^x}
\)

Возводим обе части в квадрат:

\(
1 + 3x — 9x = 4 — 9x
\)

Упрощаем:

\(
1 + 3x — 9x + 9x = 4
\)
\(
1 + 3x — 9x = 4
\)
\(
3x — 8x = 3
\)
\(
-5x = 3
\)
\(
x = -\frac{3}{5}
\)

Далее:

\(
3^{-\frac{3}{5}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3}{5}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\)
\(
3^{\frac{3}{5}} = \sqrt{3}
\)

Таким образом, решения уравнения:

\(
x_1 = -\frac{3}{5}, \quad x_2 = \frac{3}{5}
\)

Выполним проверку:

\(
\sqrt{1 + 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) — 9 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)}
\)

Упрощаем левую часть:

\(
\sqrt{1 — \frac{9}{5} + \frac{27}{5}} = \sqrt{4 + \frac{9}{5}}
\)

Это равняется:

\(
\sqrt{\frac{28}{5}} = \sqrt{4} — \frac{9}{5}
\)
\(
\sqrt{\frac{28}{5}} = 2 — \frac{3}{5}
\)
\(
\sqrt{\frac{28}{5}} = 1
\)

Ответ:

\(
x_1 = -\frac{3}{5}, \quad x_2 = \frac{3}{5}
\)