ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(
2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 2;
\)
Ответ: \(1; 2.\)

2) \(
9^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0;
\)
\(
3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 27 = 0;
\)
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 27 = 36 + 108 = 144, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-6 — \sqrt{144}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2} = 2;
\)
Ответ: \(x = 2.\)

3) \(
25^x — 5^x — 20 = 0;
\)
\(
5^{2x} — 5^x — 20 = 0;
\)
\(
D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{81}}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = 1;
\)
Ответ: \(x = 1.\)

4) \(
100 \cdot 0.3^{2x} + 91 \cdot 0.3^x — 9 = 0;
\)
\(
D = (91)^2 + 4 \cdot (100) \cdot (-9) = 8281 + (-3600) = 11881, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-91 — \sqrt{11881}}{2 \cdot 100} = -1, \quad x_2 = \frac{-91 + \sqrt{11881}}{2 \cdot 100} = 2;
\)
Ответ: \(x = 2.\)

1) Рассмотрим уравнение \(2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0\). Для удобства сделаем замену переменной: положим \(t = 2^x\). Тогда уравнение приобретает вид \(t^2 — 6t + 8 = 0\). Это квадратное уравнение относительно \(t\). Найдём дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1, b = -6, c = 8\). Получаем \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\). Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два корня: \(t_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2\) и \(t_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\). Подставляя обратно \(t = 2^x\), получаем уравнения \(2^x = 2\) и \(2^x = 4\). Решая, находим \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\). Ответ: \(1; 2\).

2) Рассмотрим уравнение \(9^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0\). Сделаем замену \(t = 3^x\). Тогда \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = t^2\), и уравнение примет вид \(t^2 — 6t — 27 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\). Корни уравнения: \(t_1 = \frac{6 — \sqrt{144}}{2} = \frac{6 — 12}{2} = -3\), \(t_2 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9\). Поскольку \(t = 3^x\) и \(3^x > 0\), корень \(t_1 = -3\) отбрасываем. Решаем \(3^x = 9\), откуда \(x = 2\). Ответ: \(x = 2\).

3) Рассмотрим уравнение \(25^x — 5^x — 20 = 0\). Сделаем замену \(t = 5^x\). Тогда \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = t^2\), и уравнение становится \(t^2 — t — 20 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\). Корни: \(t_1 = \frac{1 — \sqrt{81}}{2} = \frac{1 — 9}{2} = -4\), \(t_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\). Так как \(t = 5^x > 0\), отрицательный корень отбрасываем. Решаем \(5^x = 5\), откуда \(x = 1\). Ответ: \(x = 1\).

4) Рассмотрим уравнение \(100 \cdot 0.3^{2x} + 91 \cdot 0.3^x — 9 = 0\). Сделаем замену \(t = 0.3^x\). Тогда уравнение примет вид \(100 t^2 + 91 t — 9 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = 91^2 — 4 \cdot 100 \cdot (-9) = 8281 + 3600 = 11881\). Найдём корни:

\[
t_1 = \frac{-91 — \sqrt{11881}}{2 \cdot 100}, \quad t_2 = \frac{-91 + \sqrt{11881}}{2 \cdot 100}.
\]

Вычислим \(\sqrt{11881} = 109\). Тогда:

\[
t_1 = \frac{-91 — 109}{200} = \frac{-200}{200} = -1,
\]
\[
t_2 = \frac{-91 + 109}{200} = \frac{18}{200} = 0.09.
\]

Поскольку \(t = 0.3^x > 0\), отбрасываем отрицательный корень \(t_1 = -1\). Решаем уравнение \(0.3^x = 0.09\). Заметим, что \(0.09 = (0.3)^2\), значит \(x = 2\). Ответ: \(x = 2\).