ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1) \(6^{2x} — 3 \cdot 6^x — 18 = 0\);

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 18 = 9 + 72 = 81,
\)

тогда:

\(
6^x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}.
\)

\(
6^x_1 = 6, \quad 6^x_2 = -3.
\)

Так как \(6^x > 0\), то:

\(
x_1 = 1.
\)

Ответ: \(x = 1\).

—

2) \(2 \cdot 4^x — 9 \cdot 2^x + 4 = 0\);

Подставим \(4^x = (2^x)^2\), тогда:

\(
2 \cdot (2^x)^2 — 9 \cdot 2^x + 4 = 0.
\)

\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49,
\)

тогда:

\(
2^x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}.
\)

\(
2^x_1 = \frac{16}{4} = 4, \quad 2^x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

Тогда:

\(
x_1 = 2, \quad x_2 = -1.
\)

Ответ: \(x = -1; x = 2\).

Решить уравнение:

1) \(6^{2x} — 3 \cdot 6^x — 18 = 0\);

Обозначим \(t = 6^x\), тогда \(6^{2x} = t^2\). Уравнение принимает вид:

\(
t^2 — 3t — 18 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81.
\)

Найдём корни квадратного уравнения:

\(
t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}.
\)

Первый корень:

\(
t_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6.
\)

Второй корень:

\(
t_2 = \frac{3 — 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
\)

Так как \(t = 6^x > 0\), то \(t_2 = -3\) не подходит. Остаётся \(t_1 = 6\).

Вернёмся к замене \(6^x = 6\):

\(
x = 1.
\)

Ответ: \(x = 1\).

2) \(2 \cdot 4^x — 9 \cdot 2^x + 4 = 0\);

Обозначим \(t = 2^x\), тогда \(4^x = (2^x)^2 = t^2\). Уравнение принимает вид:

\(
2t^2 — 9t + 4 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49.
\)

Найдём корни квадратного уравнения:

\(
t = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}.
\)

Первый корень:

\(
t_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4.
\)

Второй корень:

\(
t_2 = \frac{9 — 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

Вернёмся к замене \(t = 2^x\):

Для \(t_1 = 4\):

\(
2^x = 4 \implies x = 2.
\)

Для \(t_2 = \frac{1}{2}\):

\(
2^x = \frac{1}{2} \implies x = -1.
\)

Ответ: \(x = -1; x = 2\).