ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 20.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Случайная величина } y \text{ равна количеству школьников, присутствующих на очередном }
\)
\(
\text{занятии математического кружка.}
\)

\(
\text{Известно, что } P(y = k) = ak^2 \text{ для } k = 5, 6, 7, 8, 9.
\)

\(
\text{Найдите математическое ожидание количества школьников на занятии}
\)
\(
\text{математического кружка.}
\)

Дана величина \(y\): \(k = \{5; 6; 7; 8; 9\}\); \(P(y = k) = a \cdot k^2\);

1) Вероятности значений:
\(
P(5) = a \cdot (5^2) = 5 \cdot (5a) = 25a;
\)
\(
P(6) = a \cdot (6^2) = 6 \cdot (6a) = 36a;
\)
\(
P(7) = a \cdot (7^2) = 7 \cdot (7a) = 49a;
\)
\(
P(8) = a \cdot (8^2) = 8 \cdot (8a) = 64a;
\)
\(
P(9) = a \cdot (9^2) = 9 \cdot (9a) = 81a.
\)

2) Найдём значение параметра:
\(
25a + 36a + 49a + 64a + 81a = 1;
\)
\(
(110a + 145a) = 1;
\)
\(
255a = 1;
\)
\(
a = \frac{1}{255}.
\)

3) Математическое ожидание данной величины:
\(
M(x) = (5 \cdot 25a) + (6 \cdot 36a) + (7 \cdot 49a) + (8 \cdot 64a) + (9 \cdot 81a);
\)
\(
M(x) = (125a + 216a + 343a + 512a + 729a) = 1925a;
\)
\(
M(x) = \frac{1925}{255}.
\)

Ответ:
\(
M(x) = \frac{385}{51} \approx 7\frac{28}{51}.
\)

Дана величина \(y\): \(k = (5; 6; 7; 8; 9)\); \(P(y = k) = a \cdot k^2\).

1) Вероятности значений:
\(
P(5) = a \cdot (5^2) = 5 \cdot (5a) = 25a,
\)
\(
P(6) = a \cdot (6^2) = 6 \cdot (6a) = 36a,
\)
\(
P(7) = a \cdot (7^2) = 7 \cdot (7a) = 49a,
\)
\(
P(8) = a \cdot (8^2) = 8 \cdot (8a) = 64a,
\)
\(
P(9) = a \cdot (9^2) = 9 \cdot (9a) = 81a.
\)

2) Найдём значение параметра:
Сумма всех вероятностей равна \(1\):
\(
25a + 36a + 49a + 64a + 81a = 1.
\)
Объединяем и упрощаем:
\(
(25a + 36a) + (49a + 64a + 81a) = 1,
\)
\(
(110a + 145a) = 1,
\)
\(
255a = 1.
\)
Находим значение параметра \(a\):
\(
a = \frac{1}{255}.
\)

3) Математическое ожидание данной величины:
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
\(
M(x) = \sum_{k=5}^{9} k \cdot P(k).
\)
Подставляем значения:
\(
M(x) = (5 \cdot (25a)) + (6 \cdot (36a)) + (7 \cdot (49a)) + (8 \cdot (64a)) + (9 \cdot (81a)).
\)
Выполняем вычисления:
\(
M(x) = (125a) + (216a) + (343a) + (512a) + (729a),
\)
\(
M(x) = 1925a.
\)
Подставляем значение \(a = \frac{1}{255}\):
\(
M(x) = 1925 \cdot \frac{1}{255}.
\)
Упрощаем:
\(
M(x) = \frac{1925}{255}.
\)
Сокращаем дробь:
\(
M(x) = \frac{385}{51}.
\)

Ответ:
\(
M(x) = \frac{385}{51} \approx 7\frac{28}{51}.
\)