ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 261 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1. \(
\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)

2. \(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}}
\)

3. \(
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a — b}
\)

4. \(
\frac{m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}}}{m + \sqrt{m}\sqrt{n} + n}
\)

5. \(
\frac{a — 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b}{ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b}
\)

6. \(
\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1}
\)

7. \(
\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}}
\)

8. \(
\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}
\)

1.
\(\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8} = x^{\frac{3}{7}}\)

2.
\(\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}} = \frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}\)

3.
\(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a — b} = \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\)

4.
\(\frac{m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}}}{m + \sqrt{mn} + n} = \sqrt{m} — \sqrt{n}\)

5.
\(\frac{a — 2\sqrt{ab} + b}{ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)

6.
\(\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1}\)

7.
\(\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6}\)

8.
\(\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}} = 2^{-\frac{1}{5}}\)

1.
\(
\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)

Решение:

В числителе выносим общий множитель \(x^{\frac{3}{7}}\):

\(
x — 8x^{\frac{3}{7}} = x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} — 8)
\)

Тогда дробь становится:

\(
\frac{x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} — 8)}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)

Сокращаем \(x^{\frac{4}{7}} — 8\):

\(
x^{\frac{3}{7}}
\)

2.
\(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}}
\)

Решение:

В знаменателе выносим общий множитель \(y^{\frac{2}{3}}\):

\(
y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)
\)

Тогда дробь:

\(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)} = \frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}
\)

3.
\(
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a — b}
\)

Решение:

Заметим, что \(a — b = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\), поэтому:

\(
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}
\)

4.
\(
\frac{m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}}}{m + \sqrt{mn} + n}
\)

Решение:

Используем формулу разности кубов:

\(
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
\)

Заметим, что:

\(
m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{m} — \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)
\)

Тогда дробь:

\(
\frac{(\sqrt{m} — \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)}{m + \sqrt{mn} + n} = \sqrt{m} — \sqrt{n}
\)

5.
\(
\frac{a — 2\sqrt{ab} + b}{ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b}
\)

Решение:

Числитель: \(a — 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2\)

Знаменатель: \(ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(\sqrt{a} — \sqrt{b})\)

Тогда дробь:

\(
\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(\sqrt{a} — \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}
\)

6.
\(
\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1}
\)

Решение:

Числитель: \(8a + 1 = (2a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3\) — сумма кубов

\(
8a + 1 = (2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1)
\)

Знаменатель: \(4a^{\frac{2}{3}} — 1 = (2a^{\frac{1}{3}} — 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)\)

Сокращаем \(2a^{\frac{1}{3}} + 1\):

\(
\frac{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(2a^{\frac{1}{3}} — 1)} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1}
\)

7.
\(
\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}}
\)

Решение:

Выносим \(x^{\frac{1}{4}}\) в числителе и знаменателе:

Числитель:
\(
x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)
\)

Знаменатель:
\(
x — 36x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} — 36)
\)

Сокращаем \(x^{\frac{1}{4}}\):

\(
\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)}{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} — 36)} = \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{x^{\frac{3}{8}} — 36}
\)

\(
\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6}
\)

8.
\(
\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}
\)

Решение:

Заметим, что \(52 = 26 \cdot 2\), \(4 = 2^2\).

Тогда:

\(
52^{\frac{1}{5}} = (26 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} = 26^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}, \quad
4^{\frac{1}{5}} = (2^2)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{5}}
\)

Подставим:

\(
\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{26^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{2}{5}}}
= \frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}(26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}})}
\)

Сокращаем \(26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}\):

\(
\frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}
\)

\(
2^{-\frac{1}{5}}
\)

Ответы:

1. \(x^{\frac{3}{7}}\)
2. \(\frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}\)
3. \(\frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\)
4. \(\sqrt{m} — \sqrt{n}\)
5. \(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
6. \(\frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1}\)
7. \(\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6}\)
8. \(2^{-\frac{1}{5}}\)