Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 261 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сократите дробь:
1. \(
\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)
2. \(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}}
\)
3. \(
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a — b}
\)
4. \(
\frac{m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}}}{m + \sqrt{m}\sqrt{n} + n}
\)
5. \(
\frac{a — 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b}{ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b}
\)
6. \(
\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1}
\)
7. \(
\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}}
\)
8. \(
\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}
\)
1.
\(\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8} = x^{\frac{3}{7}}\)
2.
\(\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}} = \frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}\)
3.
\(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a — b} = \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\)
4.
\(\frac{m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}}}{m + \sqrt{mn} + n} = \sqrt{m} — \sqrt{n}\)
5.
\(\frac{a — 2\sqrt{ab} + b}{ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
6.
\(\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1}\)
7.
\(\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6}\)
8.
\(\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}} = 2^{-\frac{1}{5}}\)
1.
\(
\frac{x — 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)
Решение:
В числителе выносим общий множитель \(x^{\frac{3}{7}}\):
\(
x — 8x^{\frac{3}{7}} = x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} — 8)
\)
Тогда дробь становится:
\(
\frac{x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} — 8)}{x^{\frac{4}{7}} — 8}
\)
Сокращаем \(x^{\frac{4}{7}} — 8\):
\(
x^{\frac{3}{7}}
\)
2.
\(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}}
\)
Решение:
В знаменателе выносим общий множитель \(y^{\frac{2}{3}}\):
\(
y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)
\)
Тогда дробь:
\(
\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)} = \frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}
\)
3.
\(
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a — b}
\)
Решение:
Заметим, что \(a — b = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\), поэтому:
\(
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}
\)
4.
\(
\frac{m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}}}{m + \sqrt{mn} + n}
\)
Решение:
Используем формулу разности кубов:
\(
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
\)
Заметим, что:
\(
m^{\frac{3}{2}} — n^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{m} — \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)
\)
Тогда дробь:
\(
\frac{(\sqrt{m} — \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)}{m + \sqrt{mn} + n} = \sqrt{m} — \sqrt{n}
\)
5.
\(
\frac{a — 2\sqrt{ab} + b}{ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b}
\)
Решение:
Числитель: \(a — 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2\)
Знаменатель: \(ab^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(\sqrt{a} — \sqrt{b})\)
Тогда дробь:
\(
\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(\sqrt{a} — \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}
\)
6.
\(
\frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} — 1}
\)
Решение:
Числитель: \(8a + 1 = (2a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3\) — сумма кубов
\(
8a + 1 = (2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1)
\)
Знаменатель: \(4a^{\frac{2}{3}} — 1 = (2a^{\frac{1}{3}} — 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)\)
Сокращаем \(2a^{\frac{1}{3}} + 1\):
\(
\frac{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(2a^{\frac{1}{3}} — 1)} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1}
\)
7.
\(
\frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x — 36x^{\frac{1}{4}}}
\)
Решение:
Выносим \(x^{\frac{1}{4}}\) в числителе и знаменателе:
Числитель:
\(
x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)
\)
Знаменатель:
\(
x — 36x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} — 36)
\)
Сокращаем \(x^{\frac{1}{4}}\):
\(
\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)}{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} — 36)} = \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{x^{\frac{3}{8}} — 36}
\)
\(
\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6}
\)
8.
\(
\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}
\)
Решение:
Заметим, что \(52 = 26 \cdot 2\), \(4 = 2^2\).
Тогда:
\(
52^{\frac{1}{5}} = (26 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} = 26^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}, \quad
4^{\frac{1}{5}} = (2^2)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{5}}
\)
Подставим:
\(
\frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{26^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{2}{5}}}
= \frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}(26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}})}
\)
Сокращаем \(26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}\):
\(
\frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}
\)
\(
2^{-\frac{1}{5}}
\)
Ответы:
1. \(x^{\frac{3}{7}}\)
2. \(\frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}\)
3. \(\frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\)
4. \(\sqrt{m} — \sqrt{n}\)
5. \(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
6. \(\frac{4a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} — 1}\)
7. \(\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} — 6}\)
8. \(2^{-\frac{1}{5}}\)