Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 268 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x} — 3x^{1/4} + 2 = 0 \)
2) \( 2x^{1/3} + 5x^{1/6} — 3 = 0 \)
3) \( \sqrt[3]{4 — 4x + x^2} — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0 \)
4) \( x^2 — 16x — \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 12 \)
5) \( \sqrt{\frac{3x}{x-1}} — 2\sqrt{\frac{x-1}{3x}} = 1 \)
6) \( \sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 7 + 2x — x^2 \)
1) \(\sqrt{x} — 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда:
\(\sqrt[4]{x_1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\) и \(\sqrt[4]{x_2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
\(x_1 = 1^4 = 1\) и \(x_2 = 2^4 = 16\)
Ответ: \(1; 16\)
2) \(2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt{x} — 3 = 0\)
\(D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49\), тогда:
\(\sqrt{x_1} = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3\) и \(\sqrt{x_2} = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}\)
\(x_1 \notin \mathbb{R}\) и \(x_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{64}\)
Ответ: \(\frac{1}{64}\)
3) \(\sqrt[3]{4} — 4x + x^2 — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0\)
\(\sqrt[3]{(2 — x)^2} — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0\)
Пусть \(y = \sqrt[3]{2 — x}\), тогда:
\(y^2 — y — 2 = 0\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\(y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\) и \(y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\)
Первое значение:
\(y = \sqrt[3]{2 — x} = -1\)
\(2 — x = -1\), \(x = 3\)
Второе значение:
\(y = \sqrt{2 — x} = 2\);
\(2 — x = 8,\ x = -6\);
Ответ: \(-6; 3\).
4)
\(x^2 — 16x — \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 12\);
Пусть \(y = \sqrt{x^2 — 16x + 8}\), тогда:
\(y^2 — y — 20 = 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81\), тогда:
\(y_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\) и \(y_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\);
Первое значение:
\(y = \sqrt{x^2 — 16x + 8} = -4\);
\(\sqrt{x^2 — 16x + 8} \geq 0,\ -4 < 0,\ x \in \emptyset\);
Второе значение:
\(y = \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 5\);
\(x^2 — 16x + 8 = 25,\ x^2 — 16x — 17 = 0\);
\(D = 16^2 + 4 \cdot 17 = 256 + 68 = 324\), тогда:
\(x_1 = \frac{16 — 18}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{16 + 18}{2} = 17\);
Ответ: \(-1; 17\).
5)
\(\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} — 2 = 1\);
Пусть \(y = \frac{\sqrt{3x}}{x — 1}\), тогда:
\(2y — 2 = 0,\ y^2 — y — 2 = 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\(y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\) и \(y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\).
Первое значение:
\(\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} = -1,\ x \in \emptyset\);
Второе значение:
\(\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} = 2,\ \frac{3x}{x — 1} = 4;\)
\(3x = 4x — 4,\ x = 4;\)
Ответ: \(4\).
6)
\(\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 7 + 2x — x^2;\)
Пусть \(y = \sqrt{3x^2 — 6x + 7},\) тогда:
\(
y^2 = 3x^2 — 6x + 7,\ 3x^2 — 6x = y^2 — 7;\ 2x — x^2 = \frac{7 — y^2}{3},\ y = -\frac{1}{3}y^2 + \frac{7}{3};
\)
\(
3y = -y^2 + 7 + 21,\ y^2 + 3y — 28 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 28 = 9 + 112 = 121,\ тогда:\ y_1 = -7\ и\ y_2 = 4.
\)
Первое значение:
\(y = \sqrt{3x^2 — 6x + 7} = -7;\)
\(\sqrt{z} \geq 0,\ -7 < 0,\ x \in \emptyset;\)
Второе значение:
\(y = \sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 4;\)
\(y^2 = 3x^2 — 6x + 7 = 16;\)
\(3x^2 — 6x — 9 = 0,\ x^2 — 2x — 3 = 0;\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\ тогда:\ x_1 = -1\ и\ x_2 = 3.
\)
Ответ: \(-1;\ 3.\)
1) Рассмотрим уравнение
\(\sqrt{x} — 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0\).
Введем замену \(\sqrt[4]{x} = t\), тогда \(\sqrt{x} = t^2\). Уравнение примет вид:
\(t^2 — 3t + 2 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Корни уравнения:
\(t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
Возвращаемся к исходной переменной:
\(x_1 = t_1^4 = 1^4 = 1\), \(x_2 = t_2^4 = 2^4 = 16\).
Ответ: \(1; 16\).
2) Рассмотрим уравнение
\(2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt{x} — 3 = 0\).
Введем замену \(\sqrt{x} = t\), тогда \(\sqrt[3]{x} = t^{2/3}\). Уравнение примет вид:
\(2t^{2/3} + 5t — 3 = 0\).
Рассмотрим только часть с \(\sqrt{x} = t\), так как \(\sqrt[3]{x}\) не дает новых решений. Найдем дискриминант:
\(D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49\).
Корни уравнения:
\(t_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3\), \(t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}\).
Возвращаемся к исходной переменной:
\(x_1 = t_1^2 = (-3)^2 = 9\), но \(x_1 \notin \mathbb{R}\), так как отрицательный корень для \(\sqrt{x}\) невозможен.
\(x_2 = t_2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{64}\).
Ответ: \(\frac{1}{64}\).
3) Рассмотрим уравнение
\(\sqrt[3]{4} — 4x + x^2 — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0\).
Введем замену \(\sqrt[3]{2 — x} = y\). Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 — y — 2 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\).
Корни уравнения:
\(y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\), \(y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\).
Возвращаемся к исходной переменной:
1. \(y = \sqrt[3]{2 — x} = -1\).
\(
2 — x = (-1)^3, \quad x = 3.
\)
2. \(y = \sqrt[3]{2 — x} = 2\).
\(
2 — x = 2^3, \quad x = -6.
\)
Ответ: \(-6; 3\).
4) Рассмотрим уравнение
\(x^2 — 16x — \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 12\).
Введем замену \(\sqrt{x^2 — 16x + 8} = y\). Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 — y — 20 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81\).
Корни уравнения:
\(y_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\), \(y_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\).
Рассмотрим оба случая:
1. \(y = -4\).
\(
\sqrt{x^2 — 16x + 8} \geq 0, \quad -4 < 0, \quad x \in \emptyset.
\)
2. \(y = 5\).
\(
x^2 — 16x + 8 = 25, \quad x^2 — 16x — 17 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 16^2 + 4 \cdot 17 = 256 + 68 = 324.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{16 — 18}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{16 + 18}{2} = 17.
\)
Ответ: \(-1; 17\).
5) Рассмотрим уравнение
\(\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} — 2 = 1\).
Введем замену \(\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} = y\). Тогда уравнение примет вид:
\(y — 2 = 1, \quad y = 3\).
Рассмотрим оба случая:
1. \(y = -1\).
\(
\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} = -1, \quad x \in \emptyset.
\)
2. \(y = 2\).
\(
\frac{\sqrt{3x}}{x — 1} = 2, \quad \frac{3x}{x — 1} = 4.
\)
Решим уравнение:
\(
3x = 4x — 4, \quad x = 4.
\)
Ответ: \(4\).
6) Рассмотрим уравнение
\(\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 7 + 2x — x^2\).
Введем замену \(\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = y\). Тогда уравнение примет вид:
\(
y^2 = 3x^2 — 6x + 7, \quad 3x^2 — 6x = y^2 — 7, \quad 2x — x^2 = \frac{7 — y^2}{3}, \quad y = -\frac{1}{3}y^2 + \frac{7}{3}.
\)
Упростим:
\(
3y = -y^2 + 7 + 21, \quad y^2 + 3y — 28 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 28 = 9 + 112 = 121.
\)
Корни уравнения:
\(
y_1 = -7, \quad y_2 = 4.
\)
Рассмотрим оба случая:
1. \(y = -7\).
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} \geq 0, \quad -7 < 0, \quad x \in \emptyset.
\)
2. \(y = 4\).
\(
y^2 = 3x^2 — 6x + 7 = 16, \quad 3x^2 — 6x — 9 = 0, \quad x^2 — 2x — 3 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = -1, \quad x_2 = 3.
\)
Ответ: \(-1; 3\).