ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( 3^{(x+2)} — 4 \cdot 3^x < 45 \)
Решение: \( x < 2 \)
Ответ: \( (2; +\infty) \)

2) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{(x-2)} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3 \)
Решение: \( -\infty < x \leq 1 \)
Ответ: \( (-\infty; 1] \)

3) \( 49x — 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0 \)
Решение: \( 0 \leq x \leq 1 \)
Ответ: \( [0; 1] \)

4) \( 0.25x^4 — 12 \cdot 0.5x^3 + 32 \geq 0 \)
Решение: \( x \leq -3, \; x \geq -2 \)
Ответ: \( (-\infty; -3] \cup [-2; +\infty) \)

5) \( 6^{(2x-1)} — \frac{1}{3} \cdot 6^{x} — 4 \leq 0 \)
Решение: \( x_1 \in \emptyset, \; x_2 = 1, \; x \leq 1 \)
Ответ: \( (-\infty; 1] \)

6) \( 25x^5 + 5x^3 — 30 \geq 0 \)
Решение: \( x_1 \in \emptyset, \; x_2 = 1, \; x \geq 1 \)
Ответ: \( [1; +\infty) \)

1) Решение неравенства \( 3^{2x} — 4 \cdot 3^x — 45 > 0 \)

Обозначим \( y = 3^x \), тогда \( 3^{2x} = y^2 \). Неравенство примет вид:
\[
y^2 — 4y — 45 > 0
\]
Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения:
\[
y^2 — 4y — 45 = 0
\]
\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196
\]
\[
y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 14}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9
\]
Корни: \( y_1 = -5 \), \( y_2 = 9 \). Поскольку \( y = 3^x > 0 \), рассматриваем только \( y > 9 \).

Возвращаясь к исходной переменной:
\[
3^x > 9 \quad \Rightarrow \quad x > 2
\]

Ответ: \( x \in (2; +\infty) \).

2) Решение неравенства \( 4^x + 2^{x+3} — 20 < 0 \)

Представим \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \), тогда неравенство перепишется:
\[
2^{2x} + 2^{x+3} — 20 < 0
\]
Обозначим \( y = 2^x \), тогда \( 2^{2x} = y^2 \) и \( 2^{x+3} = 8y \). Получаем:
\[
y^2 + 8y — 20 < 0
\]
Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения:
\[
y^2 + 8y — 20 = 0
\]
\[
D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144
\]
\[
y_1 = \frac{-8 — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 — 12}{2} = -10, \quad y_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2
\]
Корни: \( y_1 = -10 \), \( y_2 = 2 \). Поскольку \( y = 2^x > 0 \), рассматриваем \( 0 < y < 2 \).

Возвращаясь к исходной переменной:
\[
0 < 2^x < 2 \quad \Rightarrow \quad 0 < x < 1
\]

Ответ: \( x \in (0; 1) \).

3) Решение неравенства \( 49^x — 8 \cdot 7^x + 7 > 0 \)

Представим \( 49^x = (7^2)^x = (7^x)^2 \). Обозначим \( y = 7^x \), тогда неравенство примет вид:
\[
y^2 — 8y + 7 > 0
\]
Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения:
\[
y^2 — 8y + 7 = 0
\]
\[
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36
\]
\[
y_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7
\]
Корни: \( y_1 = 1 \), \( y_2 = 7 \). Неравенство выполняется на интервалах:
\[
y \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)
\]
Поскольку \( y = 7^x > 0 \), рассматриваем только \( y > 7 \).

Возвращаясь к исходной переменной:
\[
7^x > 7 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\]

Ответ: \( x \in (1; +\infty) \).

4) Решение неравенства \( 0.25^x — 12 \cdot 0.5^x + 32 > 0 \)

Представим \( 0.25^x = (0.5^2)^x = (0.5^x)^2 \). Обозначим \( y = 0.5^x \), тогда неравенство примет вид:
\[
y^2 — 12y + 32 > 0
\]
Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения:
\[
y^2 — 12y + 32 = 0
\]
\[
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16
\]
\[
y_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 — 4}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{12 + 4}{2} = 8
\]
Корни: \( y_1 = 4 \), \( y_2 = 8 \). Неравенство выполняется на интервалах:
\[
y \in (-\infty; 4) \cup (8; +\infty)
\]
Поскольку \( y = 0.5^x > 0 \), рассматриваем только \( y > 8 \).

Возвращаясь к исходной переменной:
\[
0.5^x > 8 \quad \Rightarrow \quad x < -3
\]

Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \).

5) Решение неравенства \( 6^{(2x-1)} — \frac{1}{3} \cdot 6^x — 4 > 0 \)

Представим \( 6^{(2x-1)} = \frac{6^{2x}}{6} \). Обозначим \( y = 6^x \), тогда \( 6^{2x} = y^2 \). Неравенство примет вид:
\[
\frac{y^2}{6} — \frac{y}{3} — 4 > 0
\]
Умножим на 6 (учитывая, что \( y > 0 \)):
\[
y^2 — 2y — 24 > 0
\]
Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения:
\[
y^2 — 2y — 24 = 0
\]
\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100
\]
\[
y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 10}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6
\]
Корни: \( y_1 = -4 \), \( y_2 = 6 \). Неравенство выполняется на интервалах:
\[
y \in (-\infty; -4) \cup (6; +\infty)
\]
Поскольку \( y = 6^x > 0 \), рассматриваем только \( y > 6 \).

Возвращаясь к исходной переменной:
\[
6^x > 6 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\]

Ответ: \( x \in (1; +\infty) \).

6) Решение неравенства \( 25^x + 5^x — 30 > 0 \)

Представим \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \). Обозначим \( y = 5^x \), тогда неравенство примет вид:
\[
y^2 + y — 30 > 0
\]
Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения:
\[
y^2 + y — 30 = 0
\]
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121
\]
\[
y_1 = \frac{-1 — \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 — 11}{2} = -6, \quad y_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5
\]
Корни: \( y_1 = -6 \), \( y_2 = 5 \). Неравенство выполняется на интервалах:
\[
y \in (-\infty; -6) \cup (5; +\infty)
\]
Поскольку \( y = 5^x > 0 \), рассматриваем только \( y > 5 \).

Возвращаясь к исходной переменной:
\[
5^x > 5 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\]

Ответ: \( x \in (1; +\infty) \).