ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
\frac{1}{3^x} + \frac{1}{3^{x+3}} > 84;
\)
\(
\frac{1}{3^x} + \frac{1}{3^x} \cdot 27 > 84;
\)
\(
\frac{1}{3^x} \cdot 28 > 84, \; \frac{1}{3^x} > 3;
\)
\(
\frac{1}{x} > 1, \; 1 — \frac{1}{x} < 0;
\)
\(
\frac{x-1}{x} < 0, \; 0 < x < 1;
\)
Ответ: \((0; 1).\)

2)
\(
2 \cdot 16^x — 3 \cdot 24^{x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} \leq 120;
\)
\(
2 \cdot 16^x — \frac{3}{2} \cdot 16^x + 7 \cdot 16^x \cdot \frac{1}{16} \leq 120;
\)
\(
16^x \cdot \left(2 — \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) \leq 120;
\)
\(
16^x \cdot \frac{15}{16} \leq 120, \; 16^x \leq 128;
\)
\(
24^x \leq 27, \; 4^x \leq 7, \; x \leq \frac{7}{4};
\)
Ответ: \((-\infty; \frac{7}{4}].\)

1)
Начнём с первого неравенства:
\(
\frac{1}{3^x} + \frac{1}{3^{x+3}} > 84;
\)
Это выражение можно упростить, объединив дроби:
\(
\frac{1}{3^x} + \frac{1}{3^x} \cdot 27 > 84;
\)
Теперь у нас есть общий множитель:
\(
\frac{1}{3^x} \cdot 28 > 84;
\)
Отсюда следует:
\(
\frac{1}{3^x} > 3;
\)
Преобразуем в более простую форму:
\(
\frac{1}{x} > 1;
\)
Следовательно,
\(
1 — \frac{1}{x} < 0;
\)
Таким образом, имеем:
\(
\frac{x-1}{x} < 0;
\)
Получаем, что \(0 < x < 1\).
Ответ: \((0; 1).\)

2)
Теперь перейдём ко второму неравенству:
\(
2 \cdot 16^x — 3 \cdot 24^{x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} \leq 120;
\)
Упрощаем выражение, заменяя основания и показатели:
\(
2 \cdot 16^x — \frac{3}{2} \cdot 16^x + 7 \cdot 16^x \cdot \frac{1}{16} \leq 120;
\)
Объединяем и упрощаем:
\(
16^x \cdot \left(2 — \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) \leq 120;
\)
После упрощения получаем:
\(
16^x \cdot \frac{15}{16} \leq 120;
\)
Следовательно,
\(
16^x \leq 128;
\)
Теперь рассмотрим отдельные части:
\(
24^x \leq 27, \; 4^x \leq 7;
\)
Получаем, что \(x \leq \frac{7}{4}\).
Ответ: \((-\infty; \frac{7}{4}].\)