ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\left( x^2 — 5x + 7 \right)^2 — (x — 2)(x — 3) = 1
\)

Найти решения уравнения:
\((x^2 — 5x + 7)^2 — (x — 2)(x — 3) = 1;\)
\((x^2 — 5x + 7)^2 — (x^2 — 5x + 6) = 1;\)

1) Пусть \(y = x^2 — 5x + 7\), тогда:
\(y^2 — (y — 1) = 1,\)
\(y^2 — y + 1 = 1,\)
\(y(y — 1) = 0,\)
\(y_1 = 0,\) \(y_2 = 1.\)

2) Первое значение:
\(y = x^2 — 5x + 7 = 0,\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 7 = -3,\)
\(D < 0,\) значит \(x \in \ — .\)

3) Второе значение:
\(y = x^2 — 5x + 7 = 1,\)
\(x^2 — 5x + 6 = 0,\)
\((x — 2)(x — 3) = 0,\)
\(x_1 = 2,\) \(x_2 = 3.\)

Ответ: \(2; 3.\)

Найти решения уравнения:
\((x^2 — 5x + 7)^2 — (x — 2)(x — 3) = 1;\)
\((x^2 — 5x + 7)^2 — (x^2 — 5x + 6) = 1.\)

Решение:

1) Пусть \(y = x^2 — 5x + 7\). Тогда уравнение примет вид:
\((y)^2 — (y — 1) = 1.\)
Раскроем скобки:
\(y^2 — y + 1 = 1.\)
Приведем подобные члены:
\(y^2 — y = 0.\)
Вынесем \(y\) за скобки:
\(y(y — 1) = 0.\)

Таким образом, получаем два корня:
\(y_1 = 0,\)
\(y_2 = 1.\)

2) Рассмотрим первое значение: \(y = 0.\)
Подставим \(y = x^2 — 5x + 7 = 0.\)
Это квадратное уравнение:
\(x^2 — 5x + 7 = 0.\)

Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 — 28 = -3.\)

Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), действительных корней нет. Значит, для \(y = 0\), решений нет.

3) Рассмотрим второе значение: \(y = 1.\)
Подставим \(y = x^2 — 5x + 7 = 1.\)
Приведем уравнение к стандартному виду:
\(x^2 — 5x + 7 — 1 = 0,\)
\(x^2 — 5x + 6 = 0.\)

Разложим на множители:
\((x — 2)(x — 3) = 0.\)

Решением являются корни:
\(x_1 = 2,\)
\(x_2 = 3.\)

Ответ: \(2; 3.\)