ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.27 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции \( y = \sqrt{4x — x^2} \).

\( y = \sqrt{4x — x^2} \)
Множество значений:
\( x_0 = \frac{4}{4} = 2 \)
\( y_0 = 4 \cdot 2 — 2^2 = 8 — 4 = 4 \)
\( 4x — x^2 \leq 4, \, 0 \leq y \leq 2 \)
Ответ: \( E(y) = [0; 2] \)

\( y = \sqrt{4x — x^2} \)

Рассмотрим множество значений функции.

Найдём вершину параболы \( 4x — x^2 \). Для этого определим значение \( x_0 \) (абсцисса вершины):
\( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{4} = 2 \).

Теперь вычислим значение функции в вершине:
\( y_0 = 4 \cdot 2 — 2^2 = 8 — 4 = 4 \).

Функция \( y = \sqrt{4x — x^2} \) определена, если подкоренное выражение \( 4x — x^2 \geq 0 \).
Рассмотрим неравенство:
\( 4x — x^2 \geq 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(4 — x) \geq 0 \).

Решаем методом интервалов:
Корни уравнения \( x(4 — x) = 0 \) — это \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
Знаки на интервалах:
— На интервале \( (-\infty; 0) \) выражение отрицательно.
— На интервале \( (0; 4) \) выражение положительно.
— На интервале \( (4; +\infty) \) выражение отрицательно.

Таким образом, неравенство выполняется на отрезке \( [0; 4] \).

Теперь найдём множество значений функции. Подкоренное выражение достигает максимума в вершине параболы, где \( y_0 = 4 \). Минимальное значение функции — это \( y = 0 \), достигается на концах отрезка \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Итак, множество значений функции:
\( E(y) = [0; 2] \).