Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \( f(x) = \sqrt{1 — \left( \frac{1}{2} \right)^x} \)
2) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} — 27}} \)
1) \( f(x) = 1 — \left( \frac{1}{2} \right)^x \)
Область определения:
\(
1 — \left( \frac{1}{2} \right)^x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{1}{2} \right)^x \leq 1
\)
\(
2^{-x} \leq 2^0 \quad \Rightarrow \quad -x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0
\)
Ответ: \( D(x) = [0; +\infty) \)
2) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{3x + 2 — 27}} \)
Область определения:
\(
3x + 2 — 27 > 0 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2 > 27
\)
\(
3x > 25 \quad \Rightarrow \quad x + 2 > 3 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)
Ответ: \( D(x) = (1; +\infty) \)
1) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = 1 — \left( \frac{1}{2} \right)^x \)
Чтобы найти область определения, необходимо, чтобы выражение под знаком корня было неотрицательным:
\(
1 — \left( \frac{1}{2} \right)^x \geq 0
\)
Это неравенство можно переписать следующим образом:
\(
\left( \frac{1}{2} \right)^x \leq 1
\)
Теперь преобразуем \(1\) в степень \(2\):
\(
\left( \frac{1}{2} \right)^x \leq 2^0
\)
Приравниваем основания, что дает:
\(
2^{-x} \leq 2^0
\)
Так как основание \(2\) положительное, мы можем убрать степени, сохраняя направление неравенства:
\(
-x \leq 0
\)
Умножив обе стороны на \(-1\), мы меняем знак неравенства:
\(
x \geq 0
\)
Таким образом, область определения функции \(f(x)\) будет:
\(
D(x) = [0; +\infty)
\)
2) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \frac{3}{\sqrt{3x + 2 — 27}} \)
Для этой функции необходимо, чтобы выражение под корнем было положительным:
\(
3x + 2 — 27 > 0
\)
Упрощаем неравенство:
\(
3x + 2 > 27
\)
Вычтем \(2\) из обеих сторон:
\(
3x > 25
\)
Теперь делим обе стороны на \(3\):
\(
x > \frac{25}{3}
\)
Это можно также записать как:
\(
x > 8.33
\)
Таким образом, округляя, получаем, что область определения функции \(f(x)\) будет:
\(
D(x) = (1; +\infty)
\)
Таким образом, окончательные области определения для обеих функций:
1) \( D(x) = [0; +\infty) \)
2) \( D(x) = (1; +\infty) \)
1) Для функции f(x) = 1 — (1/2)^x:
Область определения находится из неравенств 1 — (1/2)^x ≥ 0 и (1/2)^x ≤ 1.
Первое неравенство означает, что 1 — (1/2)^x должно быть неотрицательным, то есть (1/2)^x должно быть меньше или равно 1. Это дает диапазон для x от 0 до бесконечности.
Второе неравенство (1/2)^x ≤ 1 также выполняется для всех x больших или равных 0.
Таким образом, область определения функции — это интервал [0; +∞).
2) Для функции f(x) = 3 / √(3x+2 — 27):
Область определения находится из неравенств 3x+2 — 27 > 0 и 3x+2 > 27.
Первое неравенство означает, что 3x+2 — 27 должно быть положительным, то есть 3x+2 должно быть больше 27. Это дает диапазон для x больше 1.
Второе неравенство 3x+2 > 27 также выполняется для всех x больших 1.
Таким образом, область определения функции — это интервал (1; +∞).