ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Решение неравенства \(\left( \frac{1}{4} \right)^{(6x — x^2)} > \left( \frac{1}{4} \right)^{5}\):
\(
4^{(6x — x^2)} > 4^{5}
\)
\(
6x — x^2 > 5
\)
\(
x^2 — 6x + 5 > 0
\)
\(
x < 1 \quad \text{или} \quad x > 5
\)
Ответ: \((- \infty; 1) \cup (5; +\infty)\)

2) Решение неравенства \(125 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{3x^2} \geq \left( \frac{1}{25} \right)^{-4x}\):
\(
5^{(3x^2)} \leq 4^{(4x)}
\)
\(
3x^2 \leq -4x
\)
\(
3x^2 + 8x — 3 \leq 0
\)
\(
-3 \leq x \leq \frac{1}{3}
\)
Ответ: \((-3; \frac{1}{3})\)

3) Решение неравенства \(\frac{0.6^{(x + 5)}}{x^2 — 9} < 1\):
\(
0 < 0.6 < 1, \quad \frac{(x + 5)}{(x^2 — 9)} > 0
\)
\(
-5 < x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3
\)
Ответ: \((-5; -3) \cup (3; +\infty)\)

1) Решение неравенства \(\left( \frac{1}{4} \right)^{(6x — x^2)} > \left( \frac{1}{4} \right)^{5}\):
\(
\text{Возводим обе части в степень } -1, \text{ получаем: } \left( \frac{1}{4} \right)^{(-6x + x^2)} < \left( \frac{1}{4} \right)^{-5}
\)
\(
\text{Сокращаем: } 4^{(6x — x^2)} > 4^{5}
\)
\(
\text{Применяем свойства степеней: } 6x — x^2 > 5
\)
\(
\text{Раскрываем неравенство: } 6x — x^2 < 5, \quad x^2 — 6x + 5 > 0
\)
\(
\text{Находим дискриминант: } D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16
\)
\(
\text{Находим корни: } x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5
\)
\(
\text{Область решения: } (x — 1)(x — 5) > 0, \quad x < 1, \quad x > 5
\)
Ответ: \((- \infty; 1) \cup (5; +\infty)\)

2) Решение неравенства \(125 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{3x^2} \geq \left( \frac{1}{25} \right)^{-4x}\):
\(
\text{Возводим обе части в степень } -1, \text{ получаем: } 125 \cdot (5)^{3x^2} \leq (25)^{4x}
\)
\(
\text{Применяем свойства степеней: } 5^{(3x^2)} \leq 4^{(4x)}
\)
\(
\text{Логарифмируя обе части, получаем: } 3x^2 \leq -4x
\)
\(
\text{Решаем неравенство: } 5^3 — 3x^2 \geq 5^{-2}(-4x)
\)
\(
\text{Находим корни: } 3 — 3x^2 \geq 8x, \quad 3x^2 + 8x — 3 \leq 0
\)
\(
\text{Находим дискриминант: } D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100
\)
\(
\text{Находим корни: } x_1 = \frac{-8 — 10}{2 \cdot 3} = -3, \quad x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}
\)
\(
\text{Область решения: } (x + 3)(x — \frac{1}{3}) \leq 0, \quad -3 \leq x \leq \frac{1}{3}
\)
Ответ: \([-3; \frac{1}{3}]\)

3) Решение неравенства \(0.6^{(x + 5)} < 1\):
\(
0 < 0.6 < 1, \quad \frac{(x + 5)}{(x^2 — 9)} > 0
\)
\(
\text{Решаем неравенство: } (x + 3)(x — 3) > 0, \quad -5 < x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3
\)
Ответ: \((-5; -3) \cup (3; +\infty)\)