ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1) \(\frac{3}{7}^{x^2 — x} < \frac{9}{49}\)
\(
x^2 — x > 2, \quad x^2 — x — 2 > 0; \quad D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = -1, \quad x_2 = 2; \quad (x + 1)(x — 2) > 0, \quad x < -1, \quad x > 2;
\)
Ответ: \((- \infty; -1) \cup (2; +\infty)\).

2) \(4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \leq \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}\):
\(
2^2 \cdot 2^{-5x^2} \leq 2^{-3(-3x)}; \quad 2^{2 — 5x^2} \leq 2^{9x}, \quad -5x^2 + 9x + 2 \geq 0;
\)
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 81 + 40 = 121, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 0.2;
\)
\(
(x + 2)(x — 0.2) \geq 0, \quad x \leq -2, \quad x \geq 0.2;
\)
Ответ: \((- \infty; -2] \cup [0.2; +\infty)\).

3) \(\frac{0.3^{x^2 — 4}}{x — 1} > 1\):
\(
0 < 0.3 < 1, \quad \frac{(x + 2)(x — 2)}{x — 1} < 0;
\)
\(
x — 1 < 0; \quad x^2 — 4;
\)
\(
x < -2, \quad 1 < x < 2;
\)
Ответ: \((- \infty; -2) \cup (1; 2)\).

4) \(\left(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^{x — 1} > 9^{-0.5}\):
\(
\left(\sqrt{3}\right)^{x — 1} > 3^{-0.5}; \quad 3^{0.5(x — 1)} > 3^{-0.5};
\)
\(
0.5x — 0.5 > -0.5;
\)
\(
x > -1;
\)
Ответ: \((-1; +\infty)\).

1) Решение неравенства \(\frac{3}{7}^{x^2 — x} < \frac{9}{49}\):

Заметим, что \(\frac{3}{7} < 1\), поэтому при логарифмировании основание меньше единицы, и знак неравенства меняется:
\[
\log_{\frac{3}{7}}\left(\frac{3}{7}^{x^2 — x}\right) > \log_{\frac{3}{7}}\left(\frac{9}{49}\right)
\]
\[
x^2 — x > 2
\]
Теперь решаем квадратное неравенство:
\[
x^2 — x — 2 > 0
\]
Рассчитаем дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\]
Находим корни:
\[
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\]
Знаками квадратного трехчлена определяются интервалы. Неравенство \(x^2 — x — 2 > 0\) выполняется на интервалах:
\[
x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)
\]
Ответ: \((- \infty; -1) \cup (2; +\infty)\).

—

2) Решение неравенства \(4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \leq \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}\):

Представим обе стороны неравенства через степени числа 2:
\[
4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \leq \left(\frac{1}{2^3}\right)^{-3x}
\]
\[
2^2 \cdot 2^{-5x^2} \leq 2^{-(-3x \cdot 3)}
\]
\[
2^{2 — 5x^2} \leq 2^{9x}
\]
Поскольку основание \(2 > 1\), знак неравенства сохраняется:
\[
2 — 5x^2 \leq 9x
\]
Приведем к стандартному виду:
\[
-5x^2 — 9x + 2 \geq 0
\]
Рассчитаем дискриминант:
\[
D = (-9)^2 — 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 81 + 40 = 121
\]
Находим корни:
\[
x_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{121}}{2 \cdot (-5)} = \frac{9 — 11}{-10} = \frac{-2}{-10} = 0.2, \quad x_2 = \frac{9 + 11}{-10} = \frac{20}{-10} = -2
\]
Знаками квадратного трехчлена определяются интервалы. Неравенство \(-5x^2 — 9x + 2 \geq 0\) выполняется на интервалах:
\[
x \in (-\infty; -2) \cup (0.2; +\infty)
\]
Ответ: \((- \infty; -2) \cup (0.2; +\infty)\).

—

3) Решение неравенства \(\frac{0.3^{x^2 — 4}}{x — 1} > 1\):

Основание \(0.3 < 1\), поэтому при логарифмировании знак неравенства меняется. Рассмотрим числитель:
\[
0.3^{x^2 — 4} < x — 1
\]
Преобразуем числитель:
\[
x^2 — 4 > 0
\]
\[
(x — 2)(x + 2) > 0
\]
Решение: \(x < -2\) или \(x > 2\).

Теперь учтем знаменатель \(x — 1 > 0\), то есть \(x > 1\). Учитывая оба условия, получаем:
\[
x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2)
\]
Ответ: \((- \infty; -2) \cup (1; 2)\).

—

4) Решение неравенства \(\left(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^{x — 1} > 9^{-0.5}\):

Подставим значение \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\):
\[
\left(\sqrt{3}\right)^{x — 1} > 3^{-0.5}
\]
Представим обе стороны через степени числа 3:
\[
3^{0.5(x — 1)} > 3^{-0.5}
\]
Поскольку основание \(3 > 1\), знак неравенства сохраняется:
\[
0.5(x — 1) > -0.5
\]
Раскроем скобки:
\[
0.5x — 0.5 > -0.5
\]
\[
0.5x > 0
\]
\[
x > -1
\]
Ответ: \((-1; +\infty)\).