ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\), где \(a > 0\) и \(a \neq 1\), называют показатель степени, в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить указанное число \(b\).
2. Основное логарифмическое тождество: если \(a > 0\), \(a \neq 1\) и \(b > 0\), тогда \(a^{(\log_a b)} = b\).
3. Десятичным называют логарифм по основанию десять, то есть \(\log_{10}(b) = \lg(b)\).
4. Основные свойства логарифмов:
— если \(a > 0\), \(a \neq 1\) и \(b > 0\), то \(\log_a\left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a(b)\);
— если \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то \(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\);
— если \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) — \log_a(y)\);
— если \(x > 0\), \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то \(\log_a(x^B) = B \cdot \log_a(x)\), где \(B \in \mathbb{R}\);
— если \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(c \neq 1\), то \(\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\).

5. Если \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\) и \(b \neq 1\), то \(\log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)}\).

1. Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\), где \(a > 0\) и \(a \neq 1\), называют показатель степени, в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить указанное число \(b\). Формально это записывается как:
\( b = a^{(\log_a b)} \)

2. Основное логарифмическое тождество утверждает, что если \(a > 0\), \(a \neq 1\) и \(b > 0\), то выполняется равенство:
\( a^{(\log_a b)} = b \)

3. Логарифм по основанию десять называют десятичным логарифмом. Для него используется обозначение:
\( \lg(b) = \log_{10}(b) \)

4. Основные свойства логарифмов:
— Если \(a > 0\), \(a \neq 1\) и \(b > 0\), то логарифм обратного числа равен:
\( \log_a\left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a(b) \)
— Если \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то логарифм произведения двух чисел равен сумме их логарифмов:
\( \log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) \)
— Если \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то логарифм частного двух чисел равен разности их логарифмов:
\( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) — \log_a(y) \)
— Если \(x > 0\), \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то логарифм степени числа равен произведению показателя степени на логарифм основания:
\( \log_a(x^B) = B \cdot \log_a(x) \)
где \(B \in \mathbb{R}\).
— Если \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(c \neq 1\), то выполняется формула перехода к новому основанию:
\( \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \)

5. Если \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\) и \(b \neq 1\), то выполняется обратная формула логарифма:
\( \log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)} \)