ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( 3^x = 2 \);
\(\log_3 3^x = \log_3 2\);
Ответ: \( x = \log_3 2 \).

2) \( 10^x = \frac{1}{6} \);
\(\log_{10} 10^x = \log_{10} \frac{1}{6}\);
\( x = \lg 1 — \lg 6 \);
Ответ: \( x = -\lg 6 \).

3) \( 7^{x+5} = 9 \);
\(\log_7 7^{x+5} = \log_7 9\);
\( x + 5 = \log_7 9 \);
Ответ: \( x = \log_7 9 — 5 \).

4) \( 0.6^{5x-2} = 20 \);
\(\log_{0.6} 0.6^{5x-2} = \log_{0.6} 20\);
\( 5x — 2 = \log_{0.6} 20 \);
\( 5x = \log_{0.6} 20 + 2 \);
Ответ: \( x = \frac{1}{5} \log_{0.6} 20 + \frac{2}{5} \).

1) Для уравнения \( 3^x = 2 \):

Преобразуем уравнение, взяв логарифм по основанию 3 от обеих частей:
\(
\log_{3}(3^x) = \log_{3}(2)
\)
Применяем свойство логарифма: \( \log_{a}(a^b) = b \), тогда:
\(
x = \log_{3}(2)
\)
Ответ: \( x = \log_{3}(2) \).

2) Для уравнения \( 10^x = \frac{1}{6} \):

Преобразуем уравнение, взяв десятичный логарифм от обеих частей:
\(
\log_{10}(10^x) = \log_{10}\left(\frac{1}{6}\right)
\)
Применяем свойство логарифма: \( \log_{a}(a^b) = b \), тогда:
\(
x = \log_{10}(1) — \log_{10}(6)
\)
Учитывая, что \( \log_{10}(1) = 0 \), получаем:
\(
x = -\log_{10}(6)
\)
Ответ: \( x = -\log_{10}(6) \).

3) Для уравнения \( 7^{(x+5)} = 9 \):

Преобразуем уравнение, взяв логарифм по основанию 7 от обеих частей:
\(
\log_{7}(7^{(x+5)}) = \log_{7}(9)
\)
Применяем свойство логарифма: \( \log_{a}(a^b) = b \), тогда:
\(
x + 5 = \log_{7}(9)
\)
Выразим \( x \):
\(
x = \log_{7}(9) — 5
\)
Ответ: \( x = \log_{7}(9) — 5 \).

4) Для уравнения \( 0.6^{(5x-2)} = 20 \):

Преобразуем уравнение, взяв логарифм по основанию 0.6 от обеих частей:
\(
\log_{0.6}(0.6^{(5x-2)}) = \log_{0.6}(20)
\)
Применяем свойство логарифма: \( \log_{a}(a^b) = b \), тогда:
\(
5x — 2 = \log_{0.6}(20)
\)
Выразим \( 5x \):
\(
5x = \log_{0.6}(20) + 2
\)
Разделим обе части на 5, чтобы найти \( x \):
\(
x = \frac{1}{5}\log_{0.6}(20) + \frac{2}{5}
\)
Ответ: \( x = \frac{1}{5}\log_{0.6}(20) + \frac{2}{5} \).