ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите значение выражения:}
\)

1) \(\log_6 3 + \log_6 2\)

2) \(\log_6 100 — \log_5 4\)

3) \(\log_{49} 84 — \log_{49} 12\)

4) \(\log_2 5 — \log_2 35 + \log_2 56\)

5) \(\frac{\log_5 64}{\log_5 4}\)

6) \(2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16\)

1)
\(
\log_6 3 + \log_6 2 = \log_6 (6) = 1.
\)

2)
\(
\log_6 100 — \log_5 4 = 2 (\log_6 (10) — \log_5 (2)).
\)

3)
\(
\log_{49} 84 — \log_{49} 12 = \log_{49} (7) = \frac{1}{2}.
\)

4)
\(
\log_2 5 — \log_2 35 + \log_2 56 = \log_2 (8) = 3.
\)

5)
\(
\frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 (64) = 3.
\)

6)
\(
2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16 = 2 \lg 5 + \frac{1}{2} (4 \lg 2) = 2 (\lg 5 + \lg 2) = 2 \lg (10) = 2.
\)

1) \( \log_6 3 + \log_6 2 \):
\(
\log_6 3 + \log_6 2 = \log_6 (3 \cdot 2) = \log_6 6 = 1.
\)

2) \( \log_6 100 — \log_5 4 \):
\(
\log_6 100 = \log_6 (10^2) = 2 \log_6 10.
\)
Для \( \log_5 4 \):
\(
\log_5 4 = \log_5 (2^2) = 2 \log_5 2.
\)
Теперь подставим:
\(
2 \log_6 10 — 2 \log_5 2 = 2(\log_6 10 — \log_5 2).
\)
Чтобы найти конкретное значение, нужно использовать числовые значения логарифмов, но в общем виде выражение будет равно \(2(\log_6 10 — \log_5 2)\).

3) \( \log_{49} 84 — \log_{49} 12 \):
\(
\log_{49} 84 — \log_{49} 12 = \log_{49} \left(\frac{84}{12}\right) = \log_{49} 7.
\)
Поскольку \(49 = 7^2\), то:
\(
\log_{49} 7 = \frac{1}{2}.
\)

4) \( \log_2 5 — \log_2 35 + \log_2 56 \):
Сначала упростим:
\(
\log_2 5 — (\log_2 5 + \log_2 7) + (\log_2 7 + \log_2 8) = \log_2 8 = 3.
\)

5) \( \frac{\log_5 64}{\log_5 4} \):
Поскольку \(64 = 4^3\):
\(
\frac{\log_5 (4^3)}{\log_5 (4)} = \frac{3\log_5 (4)}{\log_5 (4)} = 3.
\)

6) \( 2\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 16 \):
Поскольку \(16 = 2^4\):
\(
= 2\lg 5 + \frac{1}{2}(4\lg 2) = 2\lg 5 + 2\lg 2 = 2(\lg 5 + \lg 2) = 2\lg(10) = 2.
\)

Итак, результаты для каждого выражения:
1) \(1\)
2) \(2\)
3) \(0.5\)
4) \(3\)
5) \(3\)
6) \(2\)