ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислить значение:}
\)
\( 2^{3 \log_2 5 + 4} \)
\( 8^{1 — \log_2 3} \)
\( \left( \frac{1}{3} \right)^{\log_9 2 — 3} \)
\( 7^{2 \log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4} \)
\( 9^{2 \log_3 2 + 4 \log_{81} 2} \)
\( 2 \cdot 100^{\frac{1}{2} \lg 8 — 2 \lg 2} \)
\( \lg \left( 25^{\log_5 0.8} + 9^{\log_3 0.6} \right) \)
\( 27^{\frac{1}{\log_5 3}} + 25^{\frac{1}{\log_2 5}} — 36^{\frac{1}{\log_9 6}} \)

1) \( 2^{(3 \log_2 5 + 4)} = 5^3 \cdot 2^4 = 125 \cdot 16 = 2000 \).

2) \( 8^{(1 — \log_2 3)} = \frac{8}{27} \).

3) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{(\log_9 2 — 3)} = 3 \).

4) \( 7^{(2 \log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4)} = 144 \).

5) \( 9^{(2 \log_3 2 + 4 \log_{81} 2)} = 64 \).

6) \( 2 \cdot 100^{(1/2 \lg 8 — 2 \lg 2)} = 1 \).

7) \( \lg(25^{\log_5 0.8} + 9^{\log_3 0.6}) = 0 \).

8) \( 27^{(1 / \log_5 3)} + 25^{(1 / \log_2 5)} — 36^{(1 / \log_9 6)} = 48 \).

1) Для вычисления \( 2^{(3 \log_2 5 + 4)} \):

\(
2^{(3 \log_2 5 + 4)} = 2^{(3 \log_2 5)} \cdot 2^4 = (2^{\log_2 5})^3 \cdot 16 = 5^3 \cdot 16 = 125 \cdot 16 = 2000
\)

2) Для вычисления \( 8^{(1 — \log_2 3)} \):

\(
8^{(1 — \log_2 3)} = 8^1 \cdot 8^{(- \log_2 3)} = 8 \cdot (2^3)^{- \log_2 3} = 8 \cdot 3^{-3} = \frac{8}{27}
\)

3) Для вычисления \( \left(\frac{1}{3}\right)^{(\log_9 2 — 3)} \):

\(
\left(\frac{1}{3}\right)^{(\log_9 2 — 3)} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_9 2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 9^{-2 \log_9 2} \cdot 27 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 27 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3
\)

4) Для вычисления \( 7^{(2 \log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4)} \):

\(
7^{(2 \log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4)} = 7^{(2 \log_7 3)} \cdot (\sqrt{7})^{(2 \log_7 4)} = (7^{\log_7 3})^2 \cdot (7^{\frac{1}{2}})^{(2 \log_7 4)} = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144
\)

5) Для вычисления \( 9^{(2 \log_3 2 + 4 \log_{81} 2)} \):

\(
9^{(2 \log_3 2 + 4 \log_{81} 2)} = (3^2)^{(2 \log_3 2)} + (81^{(4 \log_{81} 2)}) = (3^{(4 \log_3 2)}) + (2^4) = (2^4) \cdot (2^2) = 64
\)

6) Для вычисления \( 2 \cdot 100^{(1/2 \lg 8 — 2 \lg 2)} \):

\(
100^{(1/2 \lg 8 — 2 \lg 2)} = (10^{(1/2 \lg 8)}) / (10^{(2 \lg 2)}) = (10^{\lg (8^{1/2})}) / (10^{\lg (4)}) = (8 / (10^4))
\)
\(
= 2 \cdot (8 / (100)) = 1
\)

7) Для вычисления \( \lg(25^{(\log_5 0.8)} + 9^{(\log_3 0.6)}) \):

\(
\lg(25^{(\log_5 0.8)} + 9^{(\log_3 0.6)}) = \lg(5^{(2 \log_5 0.8)} + 3^{(2 \log_3 0.6)})
\)
\(
= \lg(0.8^2 + 0.6^2) = \lg(0.64 + 0.36) = \lg(1) = 0
\)

8) Для вычисления \( 27^{(1 / \log_5 3)} + 25^{(1 / \log_2 5)} — 36^{(1 / \log_9 6)} \):

\(
= (3^3)^{\log_3 (125)} + (5^2)^{\log_5 (4)} — (6^2)^{\log_6 (81)}
\)
\(
= (125 + 4 — 81) = (129 — 81) = 48
\)