ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислить значение:}
\)

1) \(2^{4\log_2 3 — 1}\)

2) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2}\)

3) \(8^{1 — \frac{1}{3} \log_2 12}\)

4) \(6^{\frac{1}{2} \log_6 9 — \log_{1/6} 3}\)

5) \(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}\)

6) \(1000^{\frac{1}{2} \lg 25 — 3 \lg 2}\)

7) \(\log_{13} \left(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3}\right)\)

8) \(5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}\)

Вычислить значение:

1) \(2^{4\log_2 3 — 1} = 3^4 \cdot 2^{-1} = \frac{81}{2} = 40,5;\)

2) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \frac{25^{\frac{-1}{2}\log_{25} 9}}{5^2} = \frac{9^{-\frac{1}{2}}}{25} = \frac{1}{3 \cdot 25} = \frac{1}{75};\)

3) \(8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12} = 8 \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \log_2 12} = 8 \cdot 12^{-1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3};\)

4) \(6^{\frac{1}{2}\log_6 9 — \log_{1/6} 3} = 6^{\frac{1}{2}\log_6 9} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_{1/6} 3} = 9^{\frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot 3 = 9;\)

5) \(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 144^{\frac{1}{2}\log_{144} 4} \cdot 12^{\log_{12} 5} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10;\)

6) \(1000^{\frac{1}{2}\lg 25 — 3\lg 2} = 10^{3 \cdot \frac{1}{2}\lg 25} \cdot 10^{3 \cdot (-3) \cdot \lg 2} = 25^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{-9} = \frac{125}{512};\)

7) \(\log_{13} \left(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3}\right) = \log_{13} \left(10^{2\lg 7} + 2^{\log_2 15 \cdot 23}\right) = \log_{13} \left(72 + 120\right) =\)
\(= \log_{13} 169 = 2;\)

8) \(5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3} = 4^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3} = 3^2 = 9;\)

1)
\(2^{4\log_2 3 — 1}\)

Разделим выражение на части:

Сначала используем свойство степеней:
\(a^{x + y} = a^x \cdot a^y\)

Применим это свойство:
\(2^{4\log_2 3 — 1} = 2^{4\log_2 3} \cdot 2^{-1}\)

Теперь используем свойство логарифмов:
\(a^{\log_a x} = x\)

Применим его:
\(2^{\log_2 3} = 3\)

Следовательно:
\(2^{4\log_2 3} = (2^{\log_2 3})^4 = 3^4 = 81\)

Итак, выражение превращается в:
\(2^{4\log_2 3 — 1} = 81 \cdot 2^{-1} = \frac{81}{2} = 40.5\)

2)
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2}\)

Сначала используем свойство логарифмов:
\(\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x\)

Применим его:
\(\log_{25} 9 = \frac{1}{2} \log_5 9\)

Теперь выражение становится:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}\log_5 9 + 2}\)

Разделим степень:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}\log_5 9 + 2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}\log_5 9} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\)

Используем свойство степеней:
\(\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}\)

Следовательно:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}\log_5 9} = 5^{-\frac{1}{2}\log_5 9}\)

Применим свойство логарифмов:
\(a^{\log_a x} = x\)

Таким образом:
\(5^{\log_5 9} = 9\)

Следовательно:
\(5^{-\frac{1}{2}\log_5 9} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}\)

Теперь выражение становится:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\)

Рассчитаем \(\left(\frac{1}{5}\right)^2\):
\(\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}\)

Итак:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75}\)

3)
\(8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12}\)

Разделим выражение на части:

Сначала используем свойство степеней:
\(a^{x + y} = a^x \cdot a^y\)

Применим это свойство:
\(8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12} = 8^1 \cdot 8^{-\frac{1}{3}\log_2 12}\)

Теперь используем свойство логарифмов:
\(a^{\log_a x} = x\)

Применим его:
\(8 = 2^3\)

Следовательно:
\(8^{-\frac{1}{3}\log_2 12} = (2^3)^{-\frac{1}{3}\log_2 12} = 2^{3 \cdot -\frac{1}{3}\log_2 12} = 2^{-\log_2 12}\)

Используем свойство логарифмов:
\(a^{-\log_a x} = \frac{1}{x}\)

Следовательно:
\(2^{-\log_2 12} = \frac{1}{12}\)

Теперь выражение становится:
\(8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12} = 8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

4)
\(6^{\frac{1}{2}\log_6 9 — \log_{1/6} 3}\)

Разделим выражение на части:

Сначала используем свойство степеней:
\(a^{x + y} = a^x \cdot a^y\)

Применим это свойство:
\(6^{\frac{1}{2}\log_6 9 — \log_{1/6} 3} = 6^{\frac{1}{2}\log_6 9} \cdot 6^{-\log_{1/6} 3}\)

Используем свойство логарифмов для отрицательного основания:
\(\log_{1/a} x = -\log_a x\)

Следовательно:
\(6^{-\log_{1/6} 3} = 6^{\log_6 3}\)

Теперь выражение становится:
\(6^{\frac{1}{2}\log_6 9 — \log_{1/6} 3} = 6^{\frac{1}{2}\log_6 9} \cdot 6^{\log_6 3}\)

Используем свойство логарифмов:
\(a^{\log_a x} = x\)

Применим его:
\(6^{\log_6 3} = 3\)

Теперь решим \(6^{\frac{1}{2}\log_6 9}\):
\(6^{\frac{1}{2}\log_6 9} = (6^{\log_6 9})^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\)

Следовательно:
\(6^{\frac{1}{2}\log_6 9 — \log_{1/6} 3} = 3 \cdot 3 = 9\)

5)
\(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}\)

Разделим выражение на части:

Используем свойство логарифмов:
\(\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x\)

Применим его:
\(\log_{144} 4 = \frac{1}{2} \log_{12} 4\)

Теперь выражение становится:
\(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4 + \log_{12} 5}\)

Разделим степень:
\(12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4} \cdot 12^{\log_{12} 5}\)

Используем свойство логарифмов:
\(a^{\log_a x} = x\)

Применим его:
\(12^{\log_{12} 5} = 5\)

Теперь решим \(12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4}\):
\(12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4} = (12^{\log_{12} 4})^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)

Следовательно:
\(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 2 \cdot 5 = 10\)

6)
\(1000^{\frac{1}{2}\lg 25 — 3\lg 2}\)

Разделим выражение на части:

Сначала используем свойство степеней:
\(a^{x + y} = a^x \cdot a^y\)

Применим это свойство:
\(1000^{\frac{1}{2}\lg 25 — 3\lg 2} = 1000^{\frac{1}{2}\lg 25} \cdot 1000^{-3\lg 2}\)

Используем свойство логарифмов:
\(a^{n \cdot \lg x} = (x^{\lg a})^n\)

Применим его:
\(1000^{\frac{1}{2}\lg 25} = (25^{\lg 1000})^{\frac{1}{2}}\)

Используем связь логарифмов:
\(\lg a^n = n \cdot \lg a\)

Применим это:
\(25^{\lg 1000} = 25^{3} = 15625\)

Теперь:
\(1000^{\frac{1}{2}\lg 25} = \sqrt{15625} = 125\)

Рассчитаем \(1000^{-3\lg 2}\):
\(1000^{-3\lg 2} = \left(2^{\lg 1000}\right)^{-3} = 2^{-9}\)

Следовательно:
\(1000^{\frac{1}{2}\lg 25 — 3\lg 2} = 125 \cdot 2^{-9}\)

Рассчитаем \(2^{-9}\):
\(2^{-9} = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}\)

Итак:
\(1000^{\frac{1}{2}\lg 25 — 3\lg 2} = \frac{125}{512}\)

7)

Рассчитаем выражение \(\log_{13}(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3})\).

1. Разделим выражение на части:
\(
\log_{13}(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3})
\)

2. Рассчитаем \(100^{\frac{1}{\log_7 10}}\):
Используем свойство логарифмов:
\(
\frac{1}{\log_7 10} = \log_{10} 7
\)
Тогда:
\(
100^{\frac{1}{\log_7 10}} = 100^{\log_{10} 7} = 10^{2 \cdot \log_{10} 7} = 10^{2\lg 7}
\)

3. Рассчитаем \(2^{\log_2 15 + 3}\):
Используем свойство степеней:
\(
2^{\log_2 15 + 3} = 2^{\log_2 15} \cdot 2^3
\)
Далее:
\(
2^{\log_2 15} = 15
\)
и
\(
2^3 = 8
\)
Тогда:
\(
2^{\log_2 15 + 3} = 15 \cdot 8 = 120
\)

4. Подставим всё обратно:
\(
\log_{13}(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3}) = \log_{13}(10^{2\lg 7} + 120)
\)

5. Рассчитаем сумму:
\(
\log_{13}(10^{2\lg 7} + 120) = \log_{13}(72 + 120) = \log_{13}(169)
\)

6. Используем свойство логарифмов:
\(
\log_{13}(169) = \log_{13}(13^2) = 2
\)

Итак, результат: \(2\).

8)

Рассчитаем выражение \(5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}\).

1. Разделим выражение на части:
\(
5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}
\)

2. Используем свойство логарифмов:
\(
a^{\log_a x} = x
\)
Тогда:
\(
5^{\log_5 4} = 4
\)
Следовательно:
\(
5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3} = 4^{\log_2 3}
\)

3. Рассчитаем \(4^{\log_2 3}\):
Представим \(4\) как \(2^2\):
\(
4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3}
\)

4. Используем свойство логарифмов:
\(
2^{2 \cdot \log_2 3} = 3^2
\)

5. Рассчитаем:
\(
3^2 = 9
\)

Итак, результат: \(9\).