ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
\log_2 \log_5 \sqrt{5} = \log_2 \log_5 5^{1/2} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1
\)

2)
\(
\log_2 \log_{49} 343 = \log_2 \log_{7^2} 7^3 = \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = -1
\)

3)
\(
\log_9 \log_2 8 = \log_9 \log_2 2^3 = \log_9 3 = \frac{1}{2} = 0.5
\)

4)
\(
\log_2 \sin 135^\circ = \log_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-1/2} = -\frac{1}{2}
\)

5)
\(
\log_3 \tan \frac{\pi}{3} = \log_3 \sqrt{3} = \log_{(1/3)^2} \sqrt{3} = \frac{1}{2} = 0.5
\)

6)
\(
\log_{\frac{1}{2}} \cos 315^\circ = \log_{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_{\frac{1}{2}} 2^{-1/2} = \frac{1}{2}
\)

7)
\(
\log_4 \sin \frac{\pi}{4} = \log_4 \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_4 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_4 2^{-1/2} = -\frac{1}{4}
\)

8)
\(
\log_{\frac{1}{3}} \tan (-120^\circ) = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} = -\frac{1}{2}
\)

1)
\(
\log_2 \log_5 \sqrt{5}
\)
Сначала преобразуем \(\sqrt{5}\) как \(5^{1/2}\):
\(
= \log_2 \log_5 5^{1/2}
\)
Теперь, используя свойство логарифмов:
\(
= \log_2 \frac{1}{2}
\)
Так как \(\log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2}\). Далее:
\(
= \log_2 2^{-1}
\)
И, наконец:
\(
= -1
\)

2)
\(
\log_2 \log_{49} 343
\)
Сначала преобразуем \(49\) и \(343\) как степени:
\(
= \log_2 \log_{7^2} 7^3
\)
Используя свойства логарифмов:
\(
= \log_2 \frac{3}{2}
\)
Так как \(\log_{7^2} 7^3 = \frac{3}{2}\). Далее:
\(
= \log_2 \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}
\)
И, следовательно:
\(
= -1
\)

3)
\(
\log_9 \log_2 8
\)
Преобразуем \(8\) как \(2^3\):
\(
= \log_9 \log_2 2^3
\)
Используя свойства логарифмов:
\(
= \log_9 3
\)
Так как \(\log_2 2^3 = 3\). Далее:
\(
= \frac{1}{2}
\)
В итоге:
\(
= 0.5
\)

4)
\(
\log_2 \sin 135^\circ
\)
Значение \(\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(
= \log_2 \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
Преобразуем:
\(
= \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
И далее:
\(
= \log_2 2^{-1/2}
\)
Таким образом:
\(
= -\frac{1}{2}
\)

5)
\(
\log_3 \tan \frac{\pi}{3}
\)
Значение \(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\):
\(
= \log_3 \sqrt{3}
\)
Преобразуем:
\(
= \log_{(1/3)^2} \sqrt{3}
\)
Так как \(3 = (1/3)^{-2}\), далее:
\(
= \frac{1}{2}
\)
В итоге:
\(
= 0.5
\)

6)
\(
\log_{\frac{1}{2}} \cos 315^\circ
\)
Значение \(\cos 315^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(
= \log_{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
Преобразуем:
\(
= \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
И далее:
\(
= \log_{\frac{1}{2}} 2^{-1/2}
\)
Таким образом:
\(
= \frac{1}{2}
\)

7)
\(
\log_4 \sin \frac{\pi}{4}
\)
Значение \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(
= \log_4 \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
Преобразуем:
\(
= \log_4 \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
И далее:
\(
= \log_4 2^{-1/2}
\)
Таким образом:
\(
= -\frac{1}{4}
\)

8)
\(
\log_{\frac{1}{3}} \tan (-120^\circ)
\)
Значение \(\tan (-120^\circ) = -\tan 120^\circ = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}\):
\(
= \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}
\)
Преобразуем:
\(
= \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2}
\)
Таким образом:
\(
= -\frac{1}{2}
\)