ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\( x = \left( \frac{8^2}{2^4} \right) = 4 \)
Ответ: \( x = 4 \)

2)
\( x = \left( \frac{10^2 \cdot 3}{5} \right) = 60 \)
Ответ: \( x = 60 \)

3)
\( x = \left( 216^{\frac{2}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} \right) = 180 \)
Ответ: \( x = 180 \)

4)
\( x = \left( \frac{32^{\frac{2}{3}}}{128^{\frac{1}{3}}} \right) \cdot 10 = 20 \)
Ответ: \( x = 20 \)

5)
\( x = \left( \frac{5^3}{25^2} \right) \cdot 10^{-1} = 0.1 \)
Ответ: \( x = 0.1 \)

1) Рассмотрим первое уравнение:

\(
\log_7(x) = 2 \log_7(8) — 4 \log_7(2)
\)

Согласно свойству логарифмов, можно объединить правую часть:

\(
\log_7(x) = \log_7\left(\frac{8^2}{2^4}\right)
\)

Теперь вычислим \(8^2\) и \(2^4\):

\(
8^2 = 64, \quad 2^4 = 16
\)

Таким образом, у нас получается:

\(
\log_7(x) = \log_7\left(\frac{64}{16}\right)
\)

Следовательно,

\(
x = \frac{64}{16} = 4
\)

Ответ: 4.

2) Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
\lg(x) = 2 + \lg(3) — \lg(5)
\)

Сначала преобразуем правую часть:

\(
\lg(x) = \lg(10^2) + \lg(3) — \lg(5)
\)

Используя свойство логарифмов, можем объединить:

\(
\lg(x) = \lg\left(\frac{10^2 \cdot 3}{5}\right)
\)

Теперь вычислим:

\(
10^2 = 100, \quad \frac{100 \cdot 3}{5} = 60
\)

Следовательно,

\(
x = 60
\)

Ответ: 60.

3) Далее рассмотрим третье уравнение:

\(
\log_3(x) = \frac{2}{3} \log_3(216) + \frac{1}{2} \log_3(25)
\)

Преобразуем правую часть:

\(
\log_3(x) = \log_3\left(216^{\frac{2}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}\right)
\)

Теперь найдем значения \(216^{\frac{2}{3}}\) и \(25^{\frac{1}{2}}\):

\(
216 = 6^3 \Rightarrow 216^{\frac{2}{3}} = 6^2 = 36
\)
\(
25^{\frac{1}{2}} = 5
\)

Объединим результаты:

\(
x = 36 \cdot 5 = 180
\)

Ответ: 180.

4) Перейдем к четвертому уравнению:

\(
\lg(x) = \frac{2}{3} \lg(32) — \frac{1}{3} \lg(128) + 1
\)

Преобразуем правую часть:

\(
\lg(x) = \lg(32^{\frac{2}{3}}) — \lg(128^{\frac{1}{3}}) + \lg(10)
\)

Используя свойства логарифмов, получаем:

\(
\lg(x) = \lg\left(\frac{32^{\frac{2}{3}} \cdot 10}{128^{\frac{1}{3}}}\right)
\)

Теперь найдем значения:

\(
32^{\frac{2}{3}} = (2^5)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{10}{3}}
\)
\(
128^{\frac{1}{3}} = (2^7)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{7}{3}}
\)

Таким образом:

\(
x = \frac{32^{\frac{2}{3}} \cdot 10}{128^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{\frac{10}{3}} \cdot 10}{2^{\frac{7}{3}}} = 2^{1} \cdot 10 = 20
\)

Ответ: 20.

5) Наконец, рассмотрим пятое уравнение:

\(
\log_2(x) = 3 \log_2(5) — 2 \log_2(25) — \lg(10)
\)

Преобразуем правую часть:

\(
= \log_2(5^3) — \log_2(25^2) — \lg(10)
\)

Используя свойства логарифмов, получаем:

\(
= \log_2\left(\frac{5^3}{25^2}\right) — 1
\)

Так как \(25 = 5^2\), то \(25^2 = (5^2)^2 = 5^4\), и следовательно:

\(
= \log_2\left(\frac{5^3}{5^4}\right) — 1
= \log_2(5^{-1}) — 1
= -1 \log_2(5) — 1
= — (\log_2(5) + 1)
= — (\log_2(5) + \log_2(10))
= — \log_2(50)
= \log_2(50^{-1})
= \log_2(0.02)
= x
= 0.1
\)

Ответ: 0.1.