ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.28 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
3 \lg 4 + \lg 0,5 = \frac{\lg(4^3 \cdot 0,5)}{\lg(9 : 18)} = \frac{\lg \frac{64}{9}}{\lg \frac{9}{18}} = \frac{\lg 32}{\lg \frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_2^{-1} 2^5 = \frac{5}{-1} = -5
\)

2)
\(
\frac{\lg 625 — 8 \lg 2}{\frac{1}{2} \lg 256 — 2 \lg 5} = \frac{\lg \frac{625}{256}}{\lg \frac{16}{5}} = \frac{\lg \frac{5^4}{2^8}}{\lg \frac{4^2}{5}} = \frac{\lg 5^4 — \lg 2^8}{\lg 4^2 — \lg 5} = \frac{4 \lg 5 — 8 \lg 2}{2 \lg 4 — \lg 5} = \frac{4}{-2} = -2
\)

1)
Рассмотрим выражение \(3 \lg 4 + \lg 0,5\). Используем свойства логарифмов:

\(
3 \lg 4 + \lg 0,5 = \lg(4^3) + \lg 0,5 = \lg(4^3 \cdot 0,5)
\)

Теперь преобразуем выражение:

\(
\lg(4^3 \cdot 0,5) = \lg \frac{64}{2} = \lg 32
\)

Далее рассмотрим знаменатель: \(\lg(9 : 18)\). Используем свойство логарифмов для деления:

\(
\lg(9 : 18) = \lg \frac{9}{18} = \lg \frac{1}{2}
\)

Теперь объединяем числитель и знаменатель:

\(
\frac{\lg 32}{\lg \frac{1}{2}}
\)

Используем определение логарифма с основанием \(\frac{1}{2}\):

\(
\frac{\lg 32}{\lg \frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{2}} 32
\)

Преобразуем логарифм с основанием \(\frac{1}{2}\), используя переход к обратному основанию:

\(
\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_2^{-1} 32
\)

Так как \(32 = 2^5\), то:

\(
\log_2^{-1} 32 = \frac{5}{-1} = -5
\)

Ответ: \(-5\).

2)
Рассмотрим выражение \(\frac{\lg 625 — 8 \lg 2}{\frac{1}{2} \lg 256 — 2 \lg 5}\). Сначала преобразуем числитель:

\(
\lg 625 — 8 \lg 2 = \lg(625) — \lg(2^8) = \lg \frac{625}{2^8}
\)

Теперь знаменатель:

\(
\frac{1}{2} \lg 256 — 2 \lg 5 = \lg(256^{\frac{1}{2}}) — \lg(5^2) = \lg(16) — \lg(25) = \lg \frac{16}{25}
\)

Объединяем числитель и знаменатель:

\(
\frac{\lg \frac{625}{2^8}}{\lg \frac{16}{25}}
\)

Преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов:

\(
\lg \frac{625}{2^8} = \lg(5^4) — \lg(2^8), \quad \lg \frac{16}{25} = \lg(4^2) — \lg(5^2)
\)

Подставляем в дробь:

\(
\frac{\lg(5^4) — \lg(2^8)}{\lg(4^2) — \lg(5^2)} = \frac{4 \lg 5 — 8 \lg 2}{2 \lg 4 — 2 \lg 5}
\)

Упростим знаменатель:

\(
2 \lg 4 = 2 \cdot 2 \lg 2 = 4 \lg 2
\)

Получаем:

\(
\frac{4 \lg 5 — 8 \lg 2}{4 \lg 2 — 2 \lg 5}
\)

Введем замену: \(a = \lg 5\), \(b = \lg 2\). Тогда дробь примет вид:

\(
\frac{4a — 8b}{4b — 2a}
\)

Вынесем общий множитель:

\(
\frac{4(a — 2b)}{-2(a — 2b)} = \frac{4}{-2} = -2
\)

Ответ: \(-2\).