ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.30 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_b b^3 = \log_{\sqrt{b}} a \cdot \frac{1}{\log_b^3 a} = \)

\(
\frac{\log_b a}{\frac{1}{3} \log_b a} = \frac{2 \log_b a}{\frac{1}{3} \log_b a} = 2 : \frac{1}{3} = 2 \cdot 3 = 6;
\)

2) \( \log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8 = \log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \frac{1}{\log_8 5} = \)

\(
\frac{\log_2 5}{\frac{1}{3} \log_2 5} = 3 \log_2 5 : \frac{1}{3} \log_2 5 = 3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9;
\)

1) \( \log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_b b^3 \)

Сначала преобразуем каждое из выражений:
\(
\log_{\sqrt{b}} a = \frac{\log_{b} a}{\log_{b} \sqrt{b}} = \frac{\log_{b} a}{\frac{1}{2} \cdot \log_{b} b} = 2 \cdot \log_{b} a
\)
\(
\log_{b} b^3 = 3 \cdot \log_{b} b = 3
\)

Теперь подставим эти значения в изначальное выражение:
\(
\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_{b} b^3 = (2 \cdot \log_{b} a) \cdot 3 = 6 \cdot \log_{b} a
\)

Упростим выражение:
\(
\frac{\log_{b} a}{\frac{1}{3} \cdot \log_{b} a} = 2 : \frac{1}{3} = 2 \cdot 3 = 6
\)

Ответ для первого выражения: \( 6 \).

2) \( \log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_{5} 8 \)

Сначала преобразуем каждое из выражений:
\(
\log_{\sqrt[3]{2}} 5 = \frac{\log_{2} 5}{\log_{2} \sqrt[3]{2}} = \frac{\log_{2} 5}{\frac{1}{3} \cdot \log_{2} 2} = 3 \cdot \log_{2} 5
\)
\(
\log_{5} 8 = \frac{1}{\log_{8} 5}
\)

Теперь подставим эти значения в изначальное выражение:
\(
\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_{5} 8 = (3 \cdot \log_{2} 5) \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \log_{2} 5}
\)

Упростим выражение:
\(
(3 \cdot \log_{2} 5) : (\frac{1}{3} \cdot \log_{2} 5) = 3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9
\)

Ответ для второго выражения: \( 9 \).