ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.34 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{\log_a (ab) \left( \log_b a — 1 + \log_a b \right)}{1 + (\log_a b)^3}
\)

\(\frac{\log_a(ab) \cdot \log_b(a) \cdot (1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2)}{(1 + \log_a(b))(1 — \log_a(b) + \log_a(b))}\)
\((\log_a(a) + \log_a(b)) \cdot \log_b(a)\)
\(= \log_b(a);\)
\(\log_a(a) + \log_a(b)\)
Ответ: \(\log_b(a)\).

Имеем выражение:
\(\frac{\log_a(ab) \cdot (\log_b(a) — 1 + \log_a(b))}{1 + (\log_a(b))^3}\)

Шаг 1. Раскроем \(\log_a(ab)\) с использованием свойства логарифмов:
\(\log_a(ab) = \log_a(a) + \log_a(b) = 1 + \log_a(b)\).

Подставляем это в исходное выражение:
\(\frac{(1 + \log_a(b)) \cdot (\log_b(a) — 1 + \log_a(b))}{1 + (\log_a(b))^3}\).

Шаг 2. Преобразуем \(\log_b(a)\) с использованием свойства логарифмов:
\(\log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)}\).

Подставляем это в выражение:
\(\frac{(1 + \log_a(b)) \cdot \left(\frac{1}{\log_a(b)} — 1 + \log_a(b)\right)}{1 + (\log_a(b))^3}\).

Шаг 3. Упростим выражение в скобках:
\(\frac{1}{\log_a(b)} — 1 + \log_a(b) = \frac{1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2}{\log_a(b)}\).

Подставляем упрощенное выражение в числитель:
\(\frac{(1 + \log_a(b)) \cdot \frac{1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2}{\log_a(b)}}{1 + (\log_a(b))^3}\).

Шаг 4. Упростим числитель:
\((1 + \log_a(b)) \cdot \frac{1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2}{\log_a(b)} = \frac{(1 + \log_a(b))(1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2)}{\log_a(b)}\).

Раскроем скобки в числителе:

\(
(1 + \log_a(b))(1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2) =
\)

\(
1 — \log_a(b) + (\log_a(b))^2 + \log_a(b) — (\log_a(b))^2 + (\log_a(b))^3 =
\)

\(
1 + (\log_a(b))^3.
\)

Таким образом, числитель становится:
\(\frac{1 + (\log_a(b))^3}{\log_a(b)}\).

Шаг 5. Подставляем числитель обратно в выражение:
\(\frac{\frac{1 + (\log_a(b))^3}{\log_a(b)}}{1 + (\log_a(b))^3}\).

Шаг 6. Упростим дробь:
\(\frac{\frac{1 + (\log_a(b))^3}{\log_a(b)}}{1 + (\log_a(b))^3} = \frac{1}{\log_a(b)} = \log_b(a)\).

Ответ:
\(\log_b(a)\).