Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.36 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Докажите, что } \log_{(9 — 4\sqrt{5})}(9 + 4\sqrt{5}) \text{ является целым числом.}
\)
Докажем, что \( \log_{(9-4\sqrt{5})}(9+4\sqrt{5}) \) — целое число.
Обозначим:
\(
x = \log_{(9-4\sqrt{5})}(9+4\sqrt{5}).
\)
Тогда:
\(
(9-4\sqrt{5})^x = 9 + 4\sqrt{5}.
\)
Заметим, что:
\(
(9 — 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 1 \ — 9 + 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}.
\)
Подставим в уравнение:
\(
(9 — 4\sqrt{5})^x = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}.
\)
Умножая на \( (9 — 4\sqrt{5}) \):
\(
(9 — 4\sqrt{5})^{x + 1} = 1.
\)
Это верно, когда \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \).
Следовательно, \( \log_{(9-4\sqrt{5})}(9+4\sqrt{5}) = -1 \) — целое число.
Для доказательства того, что значение выражения \( \log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) \) является целым числом, воспользуемся свойствами логарифмов и преобразованиями.
Обозначим:
\(
x = \log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5})
\)
Тогда по определению логарифма имеем:
\(
(9-4\sqrt{5})^x = 9 + 4\sqrt{5}
\)
Теперь попробуем выразить \( 9 + 4\sqrt{5} \) через \( 9 — 4\sqrt{5} \). Для этого заметим, что можно воспользоваться следующим свойством:
\(
(9 — 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 — (4\sqrt{5})^2 = 81 — 80 = 1
\)
Таким образом, можно записать:
\(
9 + 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}
\)
Теперь подставим это в уравнение:
\(
(9 — 4\sqrt{5})^x = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}
\)
Это уравнение можно переписать как:
\(
(9 — 4\sqrt{5})^x \cdot (9 — 4\sqrt{5}) = 1
\)
Следовательно, получаем:
\(
(9 — 4\sqrt{5})^{x + 1} = 1
\)
Это верно, когда \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \).
Таким образом, мы доказали, что:
\(
\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) = -1
\)
А следовательно, значение выражения является целым числом.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.