ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.36 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Докажите, что } \log_{(9 — 4\sqrt{5})}(9 + 4\sqrt{5}) \text{ является целым числом.}
\)

Докажем, что \( \log_{(9-4\sqrt{5})}(9+4\sqrt{5}) \) — целое число.

Обозначим:

\(
x = \log_{(9-4\sqrt{5})}(9+4\sqrt{5}).
\)

Тогда:

\(
(9-4\sqrt{5})^x = 9 + 4\sqrt{5}.
\)

Заметим, что:

\(
(9 — 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 1 \ — 9 + 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}.
\)

Подставим в уравнение:

\(
(9 — 4\sqrt{5})^x = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}.
\)

Умножая на \( (9 — 4\sqrt{5}) \):

\(
(9 — 4\sqrt{5})^{x + 1} = 1.
\)

Это верно, когда \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \).

Следовательно, \( \log_{(9-4\sqrt{5})}(9+4\sqrt{5}) = -1 \) — целое число.

Для доказательства того, что значение выражения \( \log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) \) является целым числом, воспользуемся свойствами логарифмов и преобразованиями.

Обозначим:

\(
x = \log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5})
\)

Тогда по определению логарифма имеем:

\(
(9-4\sqrt{5})^x = 9 + 4\sqrt{5}
\)

Теперь попробуем выразить \( 9 + 4\sqrt{5} \) через \( 9 — 4\sqrt{5} \). Для этого заметим, что можно воспользоваться следующим свойством:

\(
(9 — 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 — (4\sqrt{5})^2 = 81 — 80 = 1
\)

Таким образом, можно записать:

\(
9 + 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
(9 — 4\sqrt{5})^x = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}
\)

Это уравнение можно переписать как:

\(
(9 — 4\sqrt{5})^x \cdot (9 — 4\sqrt{5}) = 1
\)

Следовательно, получаем:

\(
(9 — 4\sqrt{5})^{x + 1} = 1
\)

Это верно, когда \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \).

Таким образом, мы доказали, что:

\(
\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) = -1
\)

А следовательно, значение выражения является целым числом.