ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.39 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdots \log_{10} 9
\)

\(
(\log_{3} 2) \cdot (\log_{4} 3) \cdot (\log_{5} 4) \cdot \ldots \cdot (\log_{10} 9) =
\)

\(
= \left(\frac{\lg 2}{\lg 3}\right) \cdot \left(\frac{\lg 3}{\lg 4}\right) \cdot \left(\frac{\lg 4}{\lg 5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{\lg 8}{\lg 9}\right) \cdot \left(\frac{\lg 9}{\lg 10}\right) =
\)

\(
= \frac{\lg 2}{\lg 10} = \log_{10} 2 = \lg 2
\)

Ответ: lg 2.

Упростить выражение:

\(
(\log_{3} 2) \cdot (\log_{4} 3) \cdot (\log_{5} 4) \cdot \ldots \cdot (\log_{10} 9)
\)

Для упрощения используем формулу перехода к десятичному логарифму:
\(
\log_{a} b = \frac{\lg b}{\lg a}
\)

Каждый член произведения можно записать в виде дроби:
\(
(\log_{3} 2) = \frac{\lg 2}{\lg 3}, \quad (\log_{4} 3) = \frac{\lg 3}{\lg 4}, \quad (\log_{5} 4) = \frac{\lg 4}{\lg 5}, \ldots, (\log_{10} 9) = \frac{\lg 9}{\lg 10}
\)

Произведение принимает вид:
\(
\left(\frac{\lg 2}{\lg 3}\right) \cdot \left(\frac{\lg 3}{\lg 4}\right) \cdot \left(\frac{\lg 4}{\lg 5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{\lg 8}{\lg 9}\right) \cdot \left(\frac{\lg 9}{\lg 10}\right)
\)

При перемножении дробей происходит сокращение всех числителей и знаменателей, кроме первого числителя и последнего знаменателя:
\(
= \frac{\lg 2}{\lg 10}
\)

Используя определение десятичного логарифма, получаем:
\(
= \log_{10} 2
\)

Ответ:
\(
\lg 2
\)