ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.40 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение выражения } \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32.
\)

Решим выражение:

\(
\log_{4}(5) \cdot \log_{5}(6) \cdot \log_{6}(7) \cdot \log_{7}(32) = \log_{4}(32)
\)

Так как \(32 = 2^{5}\):

\(
\log_{4}(32) = 5 \cdot \log_{4}(2) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
\)

Ответ: \(2.5\).

Вычислить значение:

\(
\log_{4}(5) \cdot \log_{5}(6) \cdot \log_{6}(7) \cdot \log_{7}(32)
\)

Решение:

\(
\log_{4}(5) \cdot \log_{5}(6) \cdot \log_{6}(7) \cdot \log_{7}(32) =
\frac{\log_{32}(5)}{\log_{32}(4)} \cdot \frac{\log_{32}(6)}{\log_{32}(5)} \cdot \frac{\log_{32}(7)}{\log_{32}(6)} \cdot \frac{\log_{32}(32)}{\log_{32}(7)}
\)

После сокращения остаётся:

\(
\frac{\log_{32}(32)}{\log_{32}(4)}
\)

Применяя свойства логарифмов:

\(
\frac{\log_{32}(32)}{\log_{32}(4)} = \log_{4}(32)
\)

Представим 32 как \(2^{5}\):

\(
\log_{4}(32) = \log_{4}(2^{5}) = 5 \cdot \log_{4}(2)
\)

Так как \(4 = 2^{2}\), то:

\(
\log_{4}(2) = \frac{1}{2}
\)

Подставляем:

\(
5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
\)

Ответ: \(2,5\).