ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Если при a больше 1 каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число y такое, что y равно loga x, то это правило задает логарифмическую функцию с областью определения D(f) от 0 до плюс бесконечности.

2. Свойства функции y равно loga x:
1) D(f) от 0 до плюс бесконечности, E(f) от минус бесконечности до плюс бесконечности.
2) Функция имеет ровно один нуль x равный 1.
3) Имеет два промежутка знакопостоянства:
Если a больше 1, то y меньше 0 на интервале от 0 до 1 и y больше 0 на интервале от 1 до плюс бесконечности.
Если a больше 0, но меньше 1, то y меньше 0 на интервале от 1 до плюс бесконечности и y больше 0 на интервале от 0 до 1.
4) Возрастает при a больше 1 и убывает при a больше 0, но меньше 1.
5) Функция не имеет точек экстремума.
6) Функция является непрерывной.
7) Функция дифференцируема.
8) Две асимптоты: x равен 0 и y равен 0.

1. Если при \(a > 1\) каждому положительному числу \(x\) можно поставить в соответствие число \(y\) такое, что \(y = \log_a(x)\), то это правило задает логарифмическую функцию. Область определения такой функции записывается как \(D(f) = (0; +\infty)\), то есть она определена только для положительных значений \(x\).

2. Свойства функции \(y = \log_a(x)\):

1) Область определения функции \(D(f)\) — это интервал \((0; +\infty)\), а множество значений функции \(E(f)\) — это весь числовой ряд, то есть \((- \infty; +\infty)\). Это говорит о том, что логарифмическая функция может принимать любые действительные значения, в зависимости от аргумента \(x\).

2) Логарифмическая функция пересекает ось абсцисс только в одной точке, где \(x = 1\). Это означает, что при \(x = 1\) значение логарифма равно нулю: \(y = \log_a(1) = 0\). Таким образом, функция имеет ровно один нуль, что является важным свойством для анализа её графика.

3) Функция определяет два промежутка знакопостоянства:
— Если основание логарифма \(a > 1\), то на интервале \((0; 1)\) значение функции отрицательное (\(y < 0\)), а на интервале \((1; +\infty)\) значение функции положительное (\(y > 0\)). Это связано с тем, что логарифм числа, меньшего единицы, всегда будет отрицательным.
— Если основание логарифма \(0 < a < 1\), то на интервале \((1; +\infty)\) значение функции отрицательное (\(y < 0\)), а на интервале \((0; 1)\) значение функции положительное (\(y > 0\)). В этом случае логарифмическая функция изменяет знак в точке \(x = 1\), и её поведение становится противоположным по сравнению с случаем \(a > 1\).

4) Логарифмическая функция возрастает, если основание логарифма \(a > 1\), и убывает, если основание логарифма \(0 < a < 1\). Это можно объяснить тем, что при увеличении \(x\) значение функции будет расти или падать в зависимости от значения основания логарифма.

5) Функция не имеет точек экстремума, то есть она не достигает ни локального максимума, ни локального минимума. Это свойство связано с тем, что функция либо постоянно возрастает, либо убывает без изменения направления.

6) Функция является непрерывной, что означает отсутствие разрывов на всей области определения. Непрерывность логарифмической функции позволяет говорить о том, что её график можно провести без отрыва ручки от бумаги.

7) Функция является дифференцируемой, то есть для неё можно найти производную в каждой точке области определения. Производная логарифмической функции имеет вид:
\(
f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}
\)
где \(\ln(a)\) — натуральный логарифм основания \(a\). Это показывает, что производная существует для всех \(x > 0\).

8) У логарифмической функции существуют две асимптоты: вертикальная асимптота \(x = 0\) и горизонтальная асимптота \(y = 0\). Вертикальная асимптота указывает на то, что функция стремится к бесконечности, когда \(x\) приближается к нулю. Горизонтальная асимптота показывает, что при увеличении \(x\) значение функции будет стремиться к нулю, но никогда не достигнет его.