ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите промежуток \( I \), на котором наибольшее значение функции \( y = \log_2 x \) равно \( 3 \), а наименьшее значение равно \( -1 \):

Задана функция:

\(
y = \log_2 x, \quad 2 > 1
\)

1) Наибольшее значение:

\(
U_{\text{наиб}} = 3, \quad y(x) = \log_2 x;
\)

Решаем уравнение:

\(
\log_2 x = 3 — x = 2^3 = 8.
\)

2) Наименьшее значение:

\(
U_{\text{наим}} = -1, \quad y(x) = \log_2 x;
\)

Решаем уравнение:

\(
\log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = -1 — x = 2^{-1} = \frac{1}{2}.
\)

Ответ:

\(
\left[\frac{1}{2}, 8\right]
\)

Для данной функции \( y = \log_2 x \) рассмотрим подробнее наибольшее и наименьшее значения.

1) Наибольшее значение:
Мы знаем, что \( U_{\text{наиб}} = 3 \). Для нахождения значения \( x \), при котором \( y(x) = 3 \), решим уравнение:
\(
\log_2 x = 3
\)
Преобразуем это уравнение в экспоненциальной форме:
\(
x = 2^3 = 8
\)
Таким образом, наибольшее значение функции достигается при \( x = 8 \).

2) Наименьшее значение:
Наименьшее значение функции задано как \( U_{\text{наим}} = -1 \). Для нахождения значения \( x \), при котором \( y(x) = -1 \), решим уравнение:
\(
\log_2 (1/x) = -1
\)
Это можно переписать как:
\(
1/x = 2^{-1}
\)
Следовательно, мы имеем:
\(
x = 2^{-1} = \frac{1}{2}
\)
Таким образом, наименьшее значение функции достигается при \( x = \frac{1}{2} \).

Ответ: интервал значений функции будет:
\[
\left[\frac{1}{2}, 8\right]
\]