ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( f(x) = \log_7(6 — x) \): \( (-\infty, 6) \)

2) \( f(x) = \log_{12} |x| \): \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)

3) \( f(x) = \lg(x^2 — 1) \): \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)

4) \( f(x) = \log_{0.4}(7x — x^2) \): \( (0, 7) \)

5) \( f(x) = \lg(x + 2) — 2\lg(x + 5) \): \( (-2, +\infty) \)

6) \( f(x) = \lg\left(\frac{2x + 1}{x — 1}\right) \): \( x > 1 \) и \( 2x + 1 > 0 \), то есть \( x > -\frac{1}{2} \). Область определения: \( (1, +\infty) \).

Чтобы найти область определения каждой из заданных функций, нужно учитывать, что логарифм определён только для положительных аргументов. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1) \( f(x) = \log_7(6 — x) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\( 6 — x > 0 \)
\( x < 6 \)
Таким образом, область определения: \( (-\infty, 6) \).

2) \( f(x) = \log_{12} |x| \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\( |x| > 0 \)
Это означает, что \( x \neq 0 \).
Таким образом, область определения: \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).

3) \( f(x) = \lg(x^2 — 1) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\( x^2 — 1 > 0 \)
Это приводит к неравенствам:
\( x < -1 \) или \( x > 1 \).
Таким образом, область определения: \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \).

4) \( f(x) = \log_{0.4}(7x — x^2) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\( 7x — x^2 > 0 \)
Это можно переписать как \( x(7 — x) > 0 \).
Нули функции: \( x = 0 \) и \( x = 7 \).
Функция положительна на интервалах: \( (0, 7) \).
Таким образом, область определения: \( (0, 7) \).

5) \( f(x) = \lg(x + 2) — 2\lg(x + 5) \)
Аргументы логарифмов должны быть положительными:
\( x + 2 > 0 \) и \( x + 5 > 0 \).
Это приводит к условиям:
\( x > -2 \) и \( x > -5 \).
Наиболее строгим является \( x > -2 \).
Таким образом, область определения: \( (-2, +\infty) \).

6) \( f(x) = \lg\left(\frac{2x + 1}{x — 1}\right) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\( \frac{2x + 1}{x — 1} > 0 \).
Это означает, что числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Рассмотрим два случая:
— \( 2x + 1 > 0 \) и \( x — 1 > 0 \):
\( x > -\frac{1}{2} \) и \( x > 1 \). Это даёт условие: \( x > 1 \).
— \( 2x + 1 < 0 \) и \( x — 1 < 0 \):
\( x < -\frac{1}{2} \) и \( x < 1 \). Это даёт условие: \( x < -\frac{1}{2} \).

Таким образом, область определения: \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (1, +\infty) \).

Итак, области определения функций:
1. \( (-\infty, 6) \)
2. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)
3. \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)
4. \( (0, 7) \)
5. \( (-2, +\infty) \)
6. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (1, +\infty) \)