Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1. \( \log_{0.1} 12 \) и \( 1 \);
2. \( \log_4 3 \) и \( -\frac{1}{2} \);
3. \( \frac{2}{3} \) и \( \log_{125} 30 \).
1) Рассмотрим \( \log_{0.1}(12) \) и \( 1 \). Функция убывает, так как основание \( a = 0.1 < 1 \).
\[
1 = \log_{0.1}(0.1^{1}) = \log_{0.1}(0.1)
\]
Поскольку \( 12 > 0.1 > 0 \), то:
\[
\log_{0.1}(12) < 1
\]
Ответ: \( \log_{0.1}(12) < 1 \).
2) Рассмотрим \( \log_{4}(3) \) и \( -\frac{1}{2} \). Функция возрастает, так как основание \( a = 4 > 1 \).
\[
-\frac{1}{2} = \log_{4}(4^{-1/2}) = \log_{4}\left(\frac{1}{4}\right)
\]
Поскольку \( 3 > 1 > 0 \), то:
\[
\log_{4}(3) > -\frac{1}{2}
\]
Ответ: \( \log_{4}(3) > -\frac{1}{2} \).
3) Рассмотрим \( \frac{2}{3} \) и \( \log_{125}(30) \). Функция возрастает, так как основание \( a = 125 > 1 \).
\[
\frac{2}{3} = \log_{125}(125^{2/3}) = \log_{125}(5^{2})
\]
Поскольку \( 5 < 30 \), то:
\[
\frac{2}{3} < \log_{125}(30)
\]
Ответ: \( \frac{2}{3} < \log_{125}(30) \).
1) Рассмотрим \( \log_{0.1}(12) \) и \( 1 \). Логарифм с основанием меньше \( 1 \) (в данном случае \( 0.1 \)) будет отрицательным для положительных значений. Поскольку \( 12 > 1 \), то:
\(
\log_{0.1}(12) < 0.
\)
Это связано с тем, что логарифмическая функция с основанием меньше \( 1 \) убывает. Таким образом, мы можем сделать вывод:
\(
\log_{0.1}(12) < 1.
\)
2) Рассмотрим \( \log_{4}(3) \) и \( -\frac{1}{2} \). Чтобы сравнить \( \log_{4}(3) \) и \( -\frac{1}{2} \), преобразуем \( -\frac{1}{2} \) в логарифмическую форму:
\(
-\frac{1}{2} = \log_{4}\left(\frac{1}{4}\right).
\)
Так как \( 3 > 1 \) и \( 3 < 4 \), мы знаем, что \( \log_{4}(3) \) находится между \( 0 \) и \( 1 \). Это означает, что:
\(
\log_{4}(3) > 0,
\)
и поскольку \( 0 > -\frac{1}{2} \), то:
\(
\log_{4}(3) > -\frac{1}{2}.
\)
3) Рассмотрим \( \frac{2}{3} \) и \( \log_{125}(30) \). Для сравнения \( \log_{125}(30) \), преобразуем основание:
\(
\log_{125}(30) = \frac{\log_{10}(30)}{\log_{10}(125)}.
\)
Поскольку \( 125 = 5^{3} \), то мы можем записать:
\(
\log_{10}(125) = 3 \cdot \log_{10}(5).
\)
Теперь, учитывая, что \( 30 > 10 \), мы знаем, что \( \log_{10}(30) > 1 \). Также следует отметить, что \( \log_{10}(5) < 1 \), следовательно:
\(
\log_{10}(125) = 3 \cdot \log_{10}(5) < 3.
\)
Таким образом, можем утверждать, что:
\(
\log_{125}(30) = \frac{\log_{10}(30)}{3 \cdot \log_{10}(5)} > \frac{2}{3},
\)
поскольку \( \log_{10}(30) > 2 \cdot \log_{10}(5) \).
Итак, результаты сравнения:
1) \( \log_{0.1}(12) < 1 \)
2) \( \log_{4}(3) > -\frac{1}{2} \)
3) \( \log_{125}(30) > \frac{2}{3} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!