ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните \( \log_2 3 + \log_3 2 \) и \( 2 \).

Даны два числа:
\( 2, \quad \log_2 3 + \log_3 2 \);

Сравним значения чисел:
\( a = 2 > 1, \quad 3 > 2, \quad \log_2 3 > 1; \)

\( \log_2 3 — 1 > 0, \quad (\log_2 3 — 1)^2 > 0; \)

\( \log_2^2 3 — 2 \log_2 3 + 1 > 0; \)

\( \log_2 3 — 2 + \frac{1}{\log_2 3} > 0; \)

\( \log_2 3 + \log_3 2 > 2; \)

Ответ:
\( \log_2 3 + \log_3 2 > 2. \)

Даны два числа:

\( 2, \quad \log_2 3 + \log_3 2 \).

Сравним значения чисел:

\( a = 2 > 1, \quad 3 > 2, \quad \log_2 3 > 1 \).

Заметим, что \( \log_2 3 > 1 \), так как \( 2^1 = 2 \), а \( 3 > 2 \).

Теперь рассмотрим разность \( \log_2 3 — 1 \):

\( \log_2 3 — 1 > 0 \).

Следовательно,

\( (\log_2 3 — 1)^2 > 0 \).

Раскроем квадрат:

\( \log_2^2 3 — 2 \log_2 3 + 1 > 0 \).

Теперь добавим дробь \( \frac{1}{\log_2 3} \) и преобразуем выражение:

\( \log_2 3 — 2 + \frac{1}{\log_2 3} > 0 \).

Объединим результаты:

\( \log_2 3 + \log_3 2 > 2 \).

Для этого воспользуемся свойством логарифмов:

\( \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} \).

Таким образом, мы можем записать:

\( \log_2 3 + \frac{1}{\log_2 3} > 2 \).

Обозначим \( x = \log_2 3 \). Тогда неравенство принимает вид:

\( x + \frac{1}{x} > 2 \).

Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x > 0 \)):

\( x^2 — 2x + 1 > 0 \).

Это неравенство можно переписать как:

\( (x — 1)^2 > 0 \).

Таким образом, неравенство выполняется для всех \( x \neq 1 \). Поскольку \( x = \log_2 3 > 1 \), то неравенство выполняется.

Следовательно, мы имеем:

\( \log_2 3 + \log_3 2 > 2 \).