ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.32 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что log_(1/3) 4+log_4 (1/3) < -2.

\(
a = \frac{1}{3} < 1, \quad 4 > \frac{1}{3}, \quad \log_{\frac{1}{3}}{4} < -1;
\)

\(
\log_{\frac{1}{3}}{4} + 1 < 0, \quad \left( \log_{\frac{1}{3}}{4} + 1 \right)^2 > 0;
\)

\(
\log^2_{\frac{1}{3}}{4} + 2 \log_{\frac{1}{3}}{4} + 1 > 0;
\)

\(
\log_{\frac{1}{3}}{4} + 2 + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}{4}} < 0;
\)

\(
\log_{\frac{1}{3}}{4} + \log_{4}{\frac{1}{3}} < -2;
\)

Дано неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{3}}(4) + \log_{4}\left(\frac{1}{3}\right) < -2
\)

Рассмотрим решение.

Сравним значения чисел:
\(
a = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{3} < 1, \quad 4 > \frac{1}{3}
\)

Из свойств логарифмов:
\(
\log_{\frac{1}{3}}(4) < -1
\)

Теперь добавим единицу:
\(
\log_{\frac{1}{3}}(4) + 1 < 0
\)

Квадрат суммы всегда неотрицателен:
\(
\left(\log_{\frac{1}{3}}(4) + 1\right)^2 > 0
\)

Раскроем квадрат:
\(
\log^2_{\frac{1}{3}}(4) + 2 \cdot \log_{\frac{1}{3}}(4) + 1 > 0
\)

Перейдем к следующему шагу:
\(
\log_{\frac{1}{3}}(4) + 2 + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(4)} < 0
\)

Сложим логарифмы:
\(
\log_{\frac{1}{3}}(4) + \log_{4}\left(\frac{1}{3}\right) < -2
\)

Что и требовалось доказать.