ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.34 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\lg(x^2 + 1)\) всегда определено и положительно для всех \(x \neq 0\).
Ответ: \(D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

2) \(\lg(1 + \sin x)\) определено, когда \(1 + \sin x > 0\).
Ответ: \(D(x) = \{ x | x = -\pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \}\).

3) \(\sqrt{\lg(1 + x^2)}\) всегда определено, так как \(1 + x^2 \geq 1\).
Ответ: \(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

4) \(\lg(\sin x)\) определено, когда \(\sin x = 1\).
Ответ: \(D(x) = \{ x | x = \pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \}\).

5) \(\lg(x + 8) — \frac{5}{\lg(-x — 1)}\) требует \(x > -8\) и \(x < -1\), исключая \(x = -2\).
Ответ: \(D(x) = (-8; -2) \cup (-2; -1)\).

6) \(\lg(10x — x^2) — \frac{1}{\lg(8 — x)}\) требует \(0 < x < 10\), исключая \(x = 7\).
Ответ: \(D(x) = (0; 7) \cup (7; 8)\).

7) \(x \cdot \lg(4 — x^2)\) требует \(-2 < x < 2\), исключая промежутки, где \(x^2 < 3\).
Ответ: \(D(x) = (-2; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2)\).

8) \(\lg(9x — x^2) — \frac{1}{\lg(5 — x)}\) требует \(0 < x < 9\), исключая \(x = 4\).
Ответ: \(D(x) = (0; 4) \cup (4; 5)\).

9) \(\log_{2-x}(8 + 7x — x^2)\) требует \(-1 < x < 8\), ограничивая до \(x < 2\).
Ответ: \(D(x) = (-1; 1) \cup (1; 2)\).

10) \(\sqrt{\frac{(x + 5)(2 — x)}{\lg(x^2 + 1)}}\) требует \(-5 < x < 2\), исключая \(x = 0\).
Ответ: \(D(x) = [-5; 0) \cup (0; 2]\).

1) \( y = \lg(x^2 + 1) \)
Область определения: \( x^2 + 1 \geq 1 \), \( x \neq 0 \), \( \lg(x^2 + 1) > 0 \);
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) \( y = \lg(1 + \sin x) \)
Область определения: \( 1 + \sin x > 0 \), \( \sin x > -1 \);
Ответ: \( D(x) = \{ x | x = -\pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \} \).

3) \( y = \sqrt{\lg(1 + x^2)} \)
Область определения: \( 1 + x^2 \geq 1 \), \( \lg(1 + x^2) \geq 0 \);
Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

4) \( y = \lg(\sin x) \)
Область определения: \( \lg(\sin x) \geq 0 \), \( \sin x \geq 1 \);
\( \sin x = 1, x = \pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \);
Ответ: \( D(x) = \{ x | x = \pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \} \).

5) \( y = \lg(x + 8) — \frac{5}{\lg(-x — 1)} \)
Область определения:
\( \lg(-x — 1) \neq 0 \), \( -x — 1 > 0 \), \( x < -1 \); \( -x — 1 = 1 \), \( x = -2 \); \( x + 8 > 0 \), \( x > -8 \);
Ответ: \( D(x) = (-8; -2) \cup (-2; -1) \).

6) \( y = \lg(10x — x^2) — \frac{1}{\lg(8 — x)} \)
Область определения:
\( \lg(8 — x) \neq 0 \), \( 8 — x > 0 \), \( x < 8 \); \( 8 — x = 1 \), \( x = 7 \); \( 10x — x^2 > 0 \), \( x(x — 10) < 0 \), \( 0 < x < 10 \);
Ответ: \( D(x) = (0; 7) \cup (7; 8) \).

7) \( y = x \cdot \lg(4 — x^2) \)
Область определения:
\( \lg(4 — x^2) > 0 \), \( 4 — x^2 > 1 \), \( x^2 < 3 \), \( |x| < \sqrt{3} \);
Ответ: \( D(x) = (-2; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2) \).

8) \( y = \lg(9x — x^2) — \frac{1}{\lg(5 — x)} \)
Область определения:
\( \lg(5 — x) \neq 0 \), \( 5 — x > 0 \), \( x < 5 \);
\( 9x — x^2 > 0 \), \( x(x — 9) < 0 \), \( 0 < x < 9 \);
Ответ: \( D(x) = (0; 4) \cup (4; 5) \).

9) \( y = \log_{2 — x}(8 + 7x — x^2) \)
Область определения:
\( 8 + 7x — x^2 > 0 \), \( x^2 — 7x — 8 < 0 \);
Дискриминант: \( D = 7^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 + 32 = 81 \), корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 8 \);
\( (x + 1)(x — 8) < 0 \), \( -1 < x < 8 \);
\( 2 — x > 0 \), \( x < 2 \);
\( Ответ: D(x) = (-1; 1) \cup (1; 2) \).

10) \( y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 — x)}{\lg(x^2 + 1)}} \)
Область определения:
\( x^2 + 1 > 1 \), всегда верно;
\( \lg(x^2 + 1) > 0 \), \( x^2 + 1 > 1 \), всегда верно;
\( (x + 5)(2 — x) > 0 \), \( -5 < x < 2 \);
Ответ: \( D(x) = [-5; 0) \cup (0; 2] \).