ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.39 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\frac{1}{x-2} — \frac{1}{x} \geq \frac{2}{x+2}
\)

Решить неравенство:

\(
\frac{1}{x — 2} — \frac{1}{x} \leq \frac{2}{x + 2};
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
\frac{2}{x(x — 2)} \leq \frac{2}{x + 2}.
\)

Умножаем на общий знаменатель \((x + 2)x(x — 2)\):

\(
x^2 — 3x — 2 \geq 0.
\)

Решаем квадратное уравнение:

\(
D = 17, \quad x_1 = \frac{3 — \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}.
\)

Ответ:

\((-∞, -2) \cup (0; 2) \cup (\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +∞).\)

Решить неравенство:

\(
\frac{1}{x — 2} — \frac{1}{x} \leq \frac{2}{x + 2};
\)

Решение:

1. Приведем левую часть к общему знаменателю:
\(
\frac{x — (x — 2)}{x(x — 2)} \leq \frac{2}{x + 2};
\)
Упростим числитель:
\(
\frac{2}{x(x — 2)} \leq \frac{2}{x + 2}.
\)

2. Перепишем:
\(
\frac{2}{x^2 — 2x} \leq \frac{2}{x + 2};
\)
Умножим на общий знаменатель \((x + 2)x(x — 2)\), при условии \(x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2\):
\(
(x^2 — 2x) — (x + 2) \geq 0.
\)

3. Упростим неравенство:
\(
x^2 — 3x — 2 \geq 0.
\)

4. Найдем корни квадратного уравнения:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 + 8 = 17;
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{3 — \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}.
\)

5. Анализируем интервалы для неравенства:
Решение:
\(
(-\infty, -2) \cup (0; 2) \cup (\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty).
\)

Ответ:
\((-∞, -2) ∪ (0, 2) ∪ (\frac{3 + √17}{2}, ∞)\).