ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\frac{1}{x-2} — \frac{1}{x} < \frac{2}{x+2}
\)

Теорема:
Пусть \( (a > 0) \) и \( (a \neq 1) \), если \( (\log_a(x_1) = \log_a(x_2)) \), то \( (x_1 = x_2) \), и наоборот: если \( (x_1 > 0) \), \( (x_2 > 0) \) и \( (x_1 = x_2) \), тогда \( (\log_a(x_1) = \log_a(x_2)) \).

Следствие из теоремы:
При \( (a > 0) \) и \( (a \neq 1) \), уравнение \( (\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))) \) равносильно любой из систем:
\[
\begin{cases}
f(x) = g(x) \\
f(x) > 0
\end{cases}
\quad \text{или} \quad
\begin{cases}
f(x) = g(x) \\
g(x) > 0
\end{cases}
;
\]

Рассмотрим теорему о логарифмах. Пусть \( (a > 0) \) и \( (a \neq 1) \). Если выполняется равенство \( (\log_a(x_1) = \log_a(x_2)) \), то из этого следует, что \( (x_1 = x_2) \). Это утверждение основано на свойстве логарифмов, которое говорит о том, что логарифм является строго монотонной функцией при положительном основании \( a \), отличном от единицы.

Обратное также верно: если \( (x_1 > 0) \), \( (x_2 > 0) \) и \( (x_1 = x_2) \), то выполняется равенство \( (\log_a(x_1) = \log_a(x_2)) \). Это также следует из монотонности логарифмической функции.

Теперь рассмотрим следствие из этой теоремы. При условиях \( (a > 0) \) и \( (a \neq 1) \), уравнение вида \( (\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))) \) эквивалентно выполнению одной из следующих систем:

\(
\begin{cases}
f(x) = g(x), \\
f(x) > 0
\end{cases}
\quad \text{или} \quad
\begin{cases}
f(x) = g(x), \\
g(x) > 0
\end{cases}.
\)

Это означает, что для решения уравнения \( (\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))) \) необходимо выполнить два условия:

1. Функции \( f(x) \) и \( g(x) \) должны быть равны: \( f(x) = g(x) \).
2. Значения функций должны быть положительными: либо \( f(x) > 0 \), либо \( g(x) > 0 \).

Если одно из этих условий не выполняется, то логарифм не определён, и уравнение не имеет смысла. Таким образом, перед тем как решать уравнение с логарифмами, важно убедиться в том, что аргументы логарифмов положительны.