ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(-\log_{0.1}(2x + 3) — \log_{0.1}(2x — 3) = 0\).

\(2x + 3 = (2x — 3)^2\), \(2x^2 — 7x + 3 = 0\).

\(x_1 = \frac{1}{2}\), \(x_2 = 3\).

Область определения: \(x > 1.5\).

Ответ: \(x = 3\).

2)
\(\log_3(2^{2x} + 2^x) = 2\log_3(12)\).

\(2^{2x} + 2^x — 12 = 0\), \(t = 2^x\).

\(t_1 = -4\) (не подходит), \(t_2 = 3 \Rightarrow x = \log_2(3)\).

Ответ: \(\log_2(3)\).

3)
\(x — \lg 5 = x \lg 5 + 2 \lg 2 — \lg(1 + 2x)\).

\(10^x \cdot (1 + 2x) = 20 \cdot 5^x\).

\(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\).

Область определения: \(x \in \mathbb{R}\).

Ответ: \(x = 2\).

1) \(-\log_{0.1}(2x + 3) — \log_{0.1}(2x — 3) = 0\);

\(\log_{0.1}(2x + 3) — 2\log_{0.1}(2x — 3) = 0\);

\(\log_{0.1}(2x + 3) = \log_{0.1}((2x — 3)^2)\);

\(2x + 3 = (2x — 3)^2\);

\(4x^2 — 14x + 6 = 0\), \(2x^2 — 7x + 3 = 0\);

\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25\), тогда:

\[
x_1 = \frac{7 — 5}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3;
\]

Область определения: \(2x — 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5\);

Ответ: \(x = 3\).

2) \(\log_3(2^{2x} + 2^x) = 2\log_3(12)\);

\(\log_3(2^{2x} + 2^x) = \log_3(12)\);

\(2^{2x} + 2^x = 12\), \(2^{2x} + 2^x — 12 = 0\);

Подставляем \(t = 2^x\): \(t^2 + t — 12 = 0\);

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), тогда:

\[
t_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = -4, \quad t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = 3;
\]

\(t = 2^x \Rightarrow x = \log_2(3)\).

Ответ: \(\log_2(3)\).

3) \(x — \lg 5 = x \lg 5 + 2 \lg 2 — \lg(1 + 2x)\);

\[
\frac{\lg 5x \cdot 4}{\lg(1 + 2x)} = \frac{\lg 5x \cdot 4}{\lg 5};
\]

\(10^x \cdot (1 + 2x) = 5 \cdot 5^x \cdot 4\);

\(10^x + 20^x = 20 \cdot 5^x\);

\(2^{2x} + 2^x — 20 = 0\);

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81\), тогда:

\[
t_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5, \quad t_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\]

\(x_1 = 0\) и \(x_2 = \log_2 4 = 2\);

Область определения: \(1 + 2x > 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}\);

Ответ: \(x = 2\).