ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log_7(x) + \log_7(x + 6) = 1\):
\(
x^2 + 6x — 7 = 0, \quad D = 64, \quad x_1 = -7, \, x_2 = 1
\)
Область определения: \(x > 0\).
Ответ: \(x = 1\).

2) \(\log_3(5 — x) + \log_3(3 — x) = 1\):
\(
x^2 — 8x + 12 = 0, \quad D = 16, \quad x_1 = 4, \, x_2 = 6
\)
Область определения: \(x < 3\).
Ответ: \(x = 2\).

3) \(\log_{0.5}(4x — 1) + \log_{0.5}(x + 1) = \log_{0.5}(3.5)\):
\(
8x^2 + 6x — 9 = 0, \quad D = 324, \quad x_1 = -3, \, x_2 = 0.75
\)
Область определения: \(x > 0.25\).
Ответ: \(x = 0.75\).

4) \(\log_{0.6}(x + 2) + \log_{0.6}(6 — x) = \log_{0.6}(x + 8)\):
\(
x^2 — 3x — 4 = 0, \quad D = 25, \quad x_1 = -1, \, x_2 = 4
\)
Область определения: \(-2 < x < 6\).
Ответ: \(x = -1, \, x = 4\).

5) \(\log_2(2x — 1) — \log_2(x + 2) = 2 — \log_2(x + 1)\):
\(
2x^2 — 3x — 9 = 0, \quad D = 81, \quad x_1 = -3, \, x_2 = 3
\)
Область определения: \(x > 0.5\).
Ответ: \(x = 3\).

6) \(\lg(x + 1)^2 = \lg((x — 5)(4x — 5))\):
\(
x^2 — 9x + 8 = 0, \quad D = 49, \quad x_1 = 1, \, x_2 = 8
\)
Область определения: \(x > 5\).
Ответ: \(x = 8\).

$\log_7(x) + \log_7(x + 6) = 1$:
$\log_7(x \cdot (x + 6)) = \log_7(7)$
$x^2 + 6x = 7, \quad x^2 + 6x — 7 = 0$
Дискриминант:
$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$
Корни:
$x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1$
Область определения: $x > 0, \, x + 6 > 0, \, x > -6$.
Ответ: $x = 1$.

$\log_3(5 — x) + \log_3(3 — x) = 1$:
$\log_3((5 — x)(3 — x)) = \log_3(3)$
$(5 — x)(3 — x) = 3$
Раскрываем скобки:
$15 — 8x + x^2 = 3, \quad x^2 — 8x + 12 = 0$
Дискриминант:
$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$
Корни:
$x_1 = \frac{8 — \sqrt{16}}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = 6$
Область определения:
$5 — x > 0 \rightarrow x < 5$,
$3 — x > 0 \rightarrow x < 3$.
Ответ: $x = 2$.

$\log_{0.5}(4x — 1) + \log_{0.5}(x + 1) = \log_{0.5}(3.5)$:
$\log_{0.5}((4x — 1)(x + 1)) = \log_{0.5}(3.5)$
$(4x — 1)(x + 1) = 3.5$
Раскрываем скобки:
$4x^2 + 4x — x — 1 = 3.5$
Приводим к стандартному виду:
$4x^2 + 3x — 4.5 = 0$
Домножаем на $2$:
$8x^2 + 6x — 9 = 0$
$D = 6^2 + 4 \cdot 8 \cdot 9 = 36 + 288 = 324$, тогда:
$x_1 = \frac{-6 — 18}{2 \cdot 8} = -3, \quad x_2 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 8} = 0.75$
Область определения:
$4x — 1 > 0, \, x > 0.25;$
$x + 1 > 0, \, x > -1.$
Ответ: $x = 0.75.$

$\log_{0.6}(x + 2) + \log_{0.6}(6 — x) = \log_{0.6}(x + 8)$:
$\log_{0.6}((x + 2)(6 — x)) = \log_{0.6}(x + 8)$
$(x + 2)(6 — x) = x + 8$
$4x — x^2 + 12 = x + 8, \quad x^2 — 3x — 4 = 0$
Дискриминант:
$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Корни:
$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2} = 4$
Область определения:
$x + 2 > 0, \, x > -2;$
$6 — x > 0, \, x < 6.$
Ответ: $x = -1; \, x = 4.$

$\log_2(2x — 1) — \log_2(x + 2) = 2 — \log_2(x + 1)$:
$\log_2\left(\frac{2x — 1}{x + 2}\right) = \log_2\left(\frac{4}{x + 1}\right)$
$\frac{2x — 1}{x + 2} = \frac{4}{x + 1}$
Крест-накрест:
$(2x — 1)(x + 1) = 4(x + 2)$
Раскрываем скобки:
$2x^2 + x — x — 1 = 4x + 8$
Приводим к стандартному виду:
$2x^2 — 3x — 9 = 0$
Дискриминант:
$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$
Корни:
$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = -3, \quad x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = 3$
Область определения:
$2x — 1 > 0, \, x > 0.5;$
$x + 2 > 0, \, x > -2.$
Ответ: $x = 3.$

$\lg(x + 1)^2 = \lg((x — 5) \cdot (4x — 5))$:
$(x + 1)^2 = (x — 5)(4x — 5)$
$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 — 5x — 20x + 25$
$3x^2 — 27x + 24 = 0, \quad x^2 — 9x + 8 = 0$
Дискриминант:
$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49$
Корни:
$x_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = 8$
Область определения:
$4x — 5 > 0, \, x > 1.25;$
$x — 5 > 0, \, x > 5.$
Ответ: $x = 8.$