ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Уравнение:
\(
\log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x — 1) = 2 + \log_3 2
\)
Применяем свойства логарифмов:
\(
(5^x + 2)(5^x — 1) = 18 \quad \Rightarrow \quad 5^{2x} + 5^x — 20 = 0
\)
Решаем квадратное уравнение:
\(
y^2 + y — 20 = 0 \quad (y = 5^x)
\)
Корни:
\(
y_1 = 4, \quad y_2 = -5 \, (\text{не подходит})
\)
Ответ: \( x = \log_5(4) \).

2. Уравнение:
\(
\log_2(2^x + 3) + \log_2(5 — 2^x) = 4
\)
Применяем свойства логарифмов:
\(
(2^x + 3)(5 — 2^x) = 16
\)
Решаем уравнение:
\(
x = 0
\)
Ответ: \( x = 0 \).

1) \( \log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x — 1) = 2 + \log_3 2 \);
\( \log_3\big((5^x + 2) \cdot (5^x — 1)\big) = \log_3\big(3^2 \cdot 2\big) \);
\( 5^{2x} + 5^x — 2 = 18 \),
\( 5^{2x} + 5^x — 20 = 0 \);

\( D = (1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81 \),
тогда:
\( 5^x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} \);

\( 5^x_1 = 4 \) и \( 5^x_2 = -5 \) (не подходит);
\( x_1 = \log_5 4 \).

Область определения:
\( 5^x + 2 > 0, \, x \in \mathbb{R} \);
\( 5^x — 1 > 0, \, 5^x > 1. \)

Ответ: \( \log_5 4 \).

2) \( \log_2(2^x + 3) + \log_2(5 — 2^x) = 4 \);
\( \log_2\big((2^x + 3)(5 — 2^x)\big) = \log_2 16 \);
\( (2^x + 3)(5 — 2^x) = 16 \);

\( 5 \cdot 2^x — 2^{2x} + 15 — 3 \cdot 2^x = 16 \);
\( 2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 1 = 0, \, (2^x — 1)^2 = 0 \);

\( 2^x — 1 = 0, \, 2^x = 1, \, x = \log_2 1 = 0. \)

Область определения:
\( 5 — 2^x > 0, \, 2^x < 5; \)
\( 2^x + 3 > 0, \, x \in \mathbb{R}. \)

Ответ: \( x = 0. \)