ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
2 \log_2{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \log_2{(x^2)} = \log_2{(3 — 2x)} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 — 2x
\)
\(
x^2 + 2x — 3 = 0, \quad D = 16, \quad x_1 = 1, \, x_2 = -3
\)
Область определения: \(x < 1.5, \, x \leq 1\).
Ответ: корней нет.

2)
\(
\log_5{(x^2 — 9x + 25)} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 9x + 20 = 0
\)
\(
D = 1, \quad x_1 = 4, \, x_2 = 5
\)
Область определения: \(x > 3\).
Ответ: \(x = 5\).

3)
\(
\log_{x-1}{(x^2 — 5x + 7)} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 6x + 8 = 0
\)
\(
D = 4, \quad x_1 = 2, \, x_2 = 4
\)
Область определения: \(x > 1, \, x \neq 2\).
Ответ: \(x = 4\).

4)
\(
\log_x{(x + 6)} = 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x — 6 = 0
\)
\(
D = 25, \quad x_1 = -2, \, x_2 = 3
\)
Область определения: \(x > 1\).
Ответ: \(x = 3\).

5)
\(
\log_{2x-3}{(3x^2 — 7x + 3)} = 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 = 0
\)
\(
D = 1, \quad x_1 = 2, \, x_2 = 3
\)
Область определения: \(x > 1.5, \, x \neq 2\).
Ответ: \(x = 3\).

1)
\( 2 \log_2{x} = 1 \)

\(
\log_2{(3 — 2x)}
\)
\(
\log_2{(x^2)} = \log_2{(3 — 2x)} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 — 2x
\)
\(
x^2 + 2x — 3 = 0
\)
\(
D = (2)^2 + 4 \cdot (1) \cdot (3) = 4 + 12 = 16
\)
Тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -3
\)

Область определения:
\(
\log_2{(3 — 2x)} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad (3 — 2x) \geq 1, \quad x \leq 1
\)
\(
(3 — 2x) > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 1.5
\)
Ответ: корней нет.

2)
\(
\log_5{(x^2 — 9x + 25)} — 1 = 0
\)
\(
\log_5{(x^2 — 9x + 25)} = 1
\)
\(
x^2 — 9x + 25 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 9x + 20 = 0
\)
\(
D = (9)^2 — 4 \cdot (1) \cdot (20) = 81 — 80 = 1
\)
Тогда:
\(
x_1 = \frac{9 — \sqrt{1}}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = 5
\)

Область определения:
\(
x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3
\)

Ответ: \( x = 5 \).

3) \(\log_{x-1}(x^2 — 5x + 7) = 1\)
\(x^2 — 5x + 7 = x — 1\),
\(x^2 — 6x + 8 = 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\), тогда:

\(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\);

Область определения:
\(x — 1 \neq 1\), \(x \neq 2\);
\(x — 1 > 0\), \(x > 1\);

Ответ: \(4\).

4) \(\log_x(x + 6) = 2\)**
\(x + 6 = x^2\),
\(x^2 — x — 6 = 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25\), тогда:

\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\);

Область определения:
\(0 < x < 1\), \(x > 1\);

Ответ: \(3\).

5) \(\log_{2x-3}(3x^2 — 7x + 3) = 2\)**
\(3x^2 — 7x + 3 = (2x — 3)^2\);
\(3x^2 — 7x + 3 = 4x^2 — 12x + 9\);
\(x^2 — 5x + 6 = 0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\), тогда:

\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\);

Область определения:
\(2x — 3 \neq 1\), \(x \neq 2\);
\(2x — 3 > 0\), \(x > 1.5\);

Ответ: \(3\).