ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log_4(4x-6) = \log_4(x-2) \);
\( (4x — 6 = x — 2), \quad (3x = 4), \quad (x = \frac{4}{3}). \)
Область определения:
\( (x — 2 > 0), \quad (x > 2). \)
Ответ: корней нет.

2) \( \log_4(x+7) = \log_4(x^2+5) \);
\( (x + 7 = x^2 + 5), \quad (x^2 — x — 2 = 0). \)
Дискриминант:
\( (D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9). \)
Корни уравнения:
\( (x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2), \quad (x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2). \)
Область определения:
\( (x + 7 > 0), \quad (x > -7). \)
Ответ: \( (x = -1); \, (x = 2). \)

1) \( \log_4(4x-6) = \log_4(x-2) \)

Из свойства логарифмов следует, что:
\( 4x — 6 = x — 2 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( 4x — x = 6 — 2 \)
\( 3x = 4 \)
Найдем \( x \):
\( x = \frac{4}{3} \)

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\( 4x — 6 > 0 \quad \text{и} \quad x — 2 > 0 \)
Рассмотрим первое неравенство:
\( 4x — 6 > 0 \)
\( 4x > 6 \)
\( x > \frac{3}{2} \)

Рассмотрим второе неравенство:
\( x — 2 > 0 \)
\( x > 2 \)

Таким образом, объединяя условия, получаем:
\( x > 2 \)

Найденный корень \( x = \frac{4}{3} \) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: корней нет.

2) \( \log_4(x+7) = \log_4(x^2+5) \)

Из свойства логарифмов следует, что:
\( x + 7 = x^2 + 5 \)
Приведем уравнение к стандартному виду:
\( x^2 — x — 2 = 0 \)

Найдем дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) \)
\( D = 1 + 8 = 9 \)

Найдем корни квадратного уравнения:
\( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \)
\( x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\( x + 7 > 0 \), откуда \( x > -7 \).

Оба корня \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \( x = -1; \, x = 2. \)