ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log_2\sqrt{x} — \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 6 \);
\( \log_2\sqrt{x} — \left(-\log_2\sqrt{x}\right) = 6 \);
\( 2\log_2\sqrt{x} = 6 \);
\( \log_2x = 4 \);
\( x = 2^4 = 16 \);
Ответ: \( 16 \).

2) \( \log_2x + \log_4x + \log_8x = 11 \);
\( \log_2x + \frac{1}{2}\log_2x + \frac{1}{3}\log_2x = 11 \);
\( \log_2x\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 11 \);
\( \log_2x \cdot \frac{11}{6} = 11 \);
\( \log_2x = 6 \);
\( x = 2^6 = 64 \);
Ответ: \( 64 \).

3) \(\log_6 x + 2 \log_{36} x + 3 \log_{216} x = 3\);
\(\log_6 x + 2 \cdot \frac{1}{2} \log_6 x + 3 \cdot \frac{1}{3} \log_6 x = 3\);
\(3 \log_6 x = 3\);
\(\log_6 x = 1\);
\(x = 6\);
Ответ: \(6\).

4) \(\log_7 \log_4(x — 2) = 0\);
\(\log_4(x — 2) = 7^0 = 1\);
\(x — 2 = 4\);
\(x = 6\);
Ответ: \(6\).

5) \(\log_4 \log_9 \log_2 x = 2\);
\(\log_9 \log_2 x = 4^2 = 16\);
\(\log_2 x = 9^{16} = 9\);
\(x = 2^9 = 512\);
Ответ: \(512\).

1) Решим уравнение \( \log_2\sqrt{x} — \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 6 \).
Сначала преобразуем выражение:
\(
\log_2\sqrt{x} — \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \log_2\sqrt{x} — \left(-\log_2\sqrt{x}\right).
\)
Упрощаем:
\(
\log_2\sqrt{x} + \log_2\sqrt{x} = 2\log_2\sqrt{x}.
\)
Подставляем в уравнение:
\(
2\log_2\sqrt{x} = 6.
\)
Делим обе части на \(2\):
\(
\log_2\sqrt{x} = 3.
\)
Используем свойство логарифмов:
\(
\log_2\sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_2x.
\)
Получаем:
\(
\frac{1}{2}\log_2x = 3.
\)
Умножаем обе части на \(2\):
\(
\log_2x = 6.
\)
Возводим основание логарифма в степень:
\(
x = 2^4 = 16.
\)
Ответ: \(16\).

2) Решим уравнение \( \log_2x + \log_4x + \log_8x = 11 \).
Преобразуем каждый логарифм к основанию \(2\):
\(
\log_4x = \frac{1}{2}\log_2x, \quad \log_8x = \frac{1}{3}\log_2x.
\)
Подставляем в уравнение:
\(
\log_2x + \frac{1}{2}\log_2x + \frac{1}{3}\log_2x = 11.
\)
Приводим к общему знаменателю:
\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}.
\]
Получаем:
\(
\log_2x \cdot \frac{11}{6} = 11.
\)
Умножаем обе части на \(6/11\):
\(
\log_2x = 6.
\)
Возводим основание логарифма в степень:
\(
x = 2^6 = 64.
\)
Ответ: \(64\).

3) Решим уравнение \( \log_6x + 2\log_{36}x + 3\log_{216}x = 3 \).
Преобразуем каждый логарифм к основанию \(6\):
\(
\log_{36}x = \frac{1}{2}\log_6x, \quad \log_{216}x = \frac{1}{3}\log_6x.
\)
Подставляем в уравнение:
\(
\log_6x + 2 \cdot \frac{1}{2}\log_6x + 3 \cdot \frac{1}{3}\log_6x = 3.
\)
Упрощаем:
\(
\log_6x + \log_6x + \log_6x = 3.
\)
Получаем:
\(
3\log_6x = 3.
\)
Делим обе части на \(3\):
\(
\log_6x = 1.
\)
Возводим основание логарифма в степень:
\(
x = 6^1 = 6.
\)
Ответ: \(6.\)

4) Решим уравнение \( \log_7(\log_4(x — 2)) = 0 \).
Преобразуем:
\(
\log_4(x — 2) = 7^0 = 1.
\)
Возводим основание логарифма в степень:
\(
x — 2 = 4^1 = 4.
\)
Получаем:
\(
x = 4 + 2 = 6.
\)
Ответ: \(6.\)

5) Решим уравнение \( \log_4(\log_9(\log_2x)) = 2 \).
Преобразуем:
\(
\log_9(\log_2x) = 4^2 = 16.
\)
Возводим основание логарифма в степень:
\(
\log_2x = 9^{16}.
\)
Упрощаем:
\( x = 2^9 = 512. \)
Ответ: \(512.\)