ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log_2(35x-3 +1) = 2\); \(35x-3 + 1 = 4\), \(35x-3 = 3\);
\(5x — 3 = 1\), \(x = 0,8\);
Ответ: 0,8.

2) \(\log_3(3x-1+6) = x\);
\(3x-1 + 6 = 3^x\), \(3x — — = 6\);
\(3^x = 6\), \(3^x = 9\), \(x = 2\);
Ответ: 2.

3) \(\log_2(2) + 7) = 3 — x\);
\(2x +7= 2^{3-x}\);
\(2x + 7 = 5^x\);
\(2x’ + 7 = 0\), \(22x + 7 \cdot 2^x — 8 = 0\).

\( D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81, \) тогда:

\( 2^{x_1} = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \) и \( 2^{x_2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1; \)
\( x_1 \in \emptyset \) и \( x_2 = \log_2(1) = 0; \)
Ответ: 0.

\( \log_6(6^{-x} — 5) = x + 1; \)
\( 6^{-x} — 5 = 6^{x+1}, \)
\( \frac{1}{6^x} — 5 = 6 \cdot 6^x; \)
\( 6 \cdot 6^x — \frac{1}{6^x} + 5 = 0, \quad 6 \cdot 6^{2x} + 5 \cdot 6^x — 1 = 0; \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 = 7^2, \) тогда:

\( 6^{x_1} = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1 \) и
\( 6^{x_2} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}; \)
\( x_1 \in \emptyset \) и \( x_2 = \log_6\left(\frac{1}{6}\right) = -1; \)
Ответ: -1.

1) Уравнение: \( \log_2(35x — 3 + 1) = 2 \)

Решение:
\(
35x — 3 + 1 = 2^2
\)
\(
35x — 3 + 1 = 4
\)
\(
35x — 3 = 3
\)
\(
5x — 3 = 1
\)
\(
5x = 4
\)
\(
x = \frac{4}{5} = 0.8
\)

Ответ: \( 0.8 \).

2) Уравнение: \( \log_3(3x — 1 + 6) = x \)

Решение:
\(
3x — 1 + 6 = 3^x
\)
\(
3x + 5 = 3^x
\)

Для \( x = 2 \):
\(
3x = 6
\)
\(
3^x = 9
\)

Ответ: \( 2 \).

3) Уравнение: \( \log_2(2x + 7) = 3 — x \)

Решение:
\(
2x + 7 = 2^{3 — x}
\)

Преобразуем уравнение в квадратное:
\(
2x + 7 = 8 \cdot 2^{-x}
\)

Далее решаем квадратное уравнение:
\(
2x + 7 = 5^x
\)

Используем дискриминант:
\( D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81 \)

Тогда:
\(
2^{x_1} = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad 2^{x_2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1
\)

\( x_1 \in \emptyset \) и \( x_2 = \log_2(1) = 0 \)

Ответ: \( 0 \).

4) Уравнение: \( \log_6(6^{-x} — 5) = x + 1 \)

Решение:
\(
6^{-x} — 5 = 6^{x+1}
\)
\(
\frac{1}{6^x} — 5 = 6 \cdot 6^x
\)
\(
6 \cdot 6^x — \frac{1}{6^x} + 5 = 0, \quad 6 \cdot 6^{2x} + 5 \cdot 6^x — 1 = 0
\)

Используем дискриминант:
\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49 = 7^2 \)

Тогда:
\(
6^{x_1} = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1
\) и
\(
6^{x_2} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\)

\( x_1 \in \emptyset \) и \( x_2 = \log_6\left(\frac{1}{6}\right) = -1 \)

Ответ: \( -1 \).