ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \log_6(6 \cdot 6^x — 30) = x \)
\( 6 \cdot 6^x — 30 = 6^x, \, 6 = \frac{30}{6^x} = 1 \)
\( -\frac{30}{6^x} = -5, \, \frac{1}{6^x} = \frac{1}{6}, \, x = 1 \)
Ответ: \( 1 \)

2) \( \log_5(6 — 5^x) = 1 — x \)
\( 6 — 5^x = 5^{1 — x}, \, 6 — 5^x = \frac{5}{5^x} \)
\( 5^x + \frac{5}{5^x} — 6 = 0, \, 5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \)

\( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \, тогда: \)
\( 5^{x_1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
\( 5^{x_2} = \frac{6 — 4}{2} = \frac{2}{2} = 1, \, x_1 = 1, \, x_2 = 0 \)
\( \log_5(5) = 1 \)
Ответ: \( 0; 1 \)

1) Уравнение: \( \log_6(6 \cdot 6^x — 30) = x \).

Преобразуем выражение под логарифмом:
\( 6 \cdot 6^x — 30 = 6^x \).

Вынесем \( 6^x \) за скобки:
\( 6^x \cdot 6 — 30 = 6^x \).

Переносим все в одну часть уравнения:
\( 6^x \cdot 6 — 6^x = 30 \).

Вынесем \( 6^x \):
\( 6^x(6 — 1) = 30 \).

Упростим:
\( 6^x \cdot 5 = 30 \).

Разделим обе части на \( 5 \):
\( 6^x = \frac{30}{5} = 6 \).

Запишем результат:
\( x = 1 \).

Ответ: \( 1 \).

2) Уравнение: \( \log_5(6 — 5^x) = 1 — x \).

Преобразуем выражение под логарифмом:
\( 6 — 5^x = 5^{1 — x} \).

Представим \( 5^{1 — x} \) как дробь:
\( 5^{1 — x} = \frac{5}{5^x} \).

Получаем:
\( 6 — 5^x = \frac{5}{5^x} \).

Умножим обе части на \( 5^x \):
\( 5^x(6 — 5^x) = 5 \).

Раскрываем скобки:
\( 6 \cdot 5^x — (5^x)^2 = 5 \).

Переносим все в одну часть уравнения:
\( (5^x)^2 — 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( t = 5^x \):
\( t^2 — 6t + 5 = 0 \).

Найдем дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \).

Найдем корни:
\( t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \),
\( t_2 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Вернемся к переменной \( x \):
\( t_1 = 5, \, t_2 = 1 \), значит,
\( x_1 = 1, \, x_2 = 0 \).

Ответ: \( 0; 1 \).