ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) log1(x + 2) ≤ 0;
x + 2 ≥ 1, x ≥ -1;
Ответ: x = -1.

2) log1(6 — x) > -2;
\(\frac{1}{2} < 1\), 0 < 6 — x < 4;
-6 < -x < -2, x > 2;
Ответ: x = 3.

3) log0,3(4x — 3) ≥ log0,3(x + 3);
0,3 < 1, 4x — 3 ≤ x + 3, 3x ≤ 6;
x ≤ 2, 4x — 3 > 0, x > 0,75;
Ответ: x = 1.

4) log1(\(x^2 — 2x + 1\)) ≥ -1;
\(x^2 — 2x + 1 ≤ 3\), \(x^2 — 2x + 1 > 0\);
\(x^2 — 2x — 2 ≤ 0\), \((x — 1)^2 > 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12\), тогда:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\);
\(1 — \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}\), \(x = 1\);
Ответ: x = 0.

1) \( \log_1(x + 2) \leq 0 \)

логарифм с основанием \(1\) не определен, так как основание логарифма должно быть больше \(0\) и не равно \(1\). таким образом, задача некорректна. если предположить, что это опечатка и основание логарифма другое, например \(a > 1\), то решение будет следующим:

условие существования логарифма:
\(x + 2 > 0 — x > -2\).

решаем неравенство:
\(\log_a(x + 2) \leq 0\).
основание \(a > 1\), поэтому логарифм возрастает, и
\(x + 2 \leq 1 — x \leq -1\).

с учетом условия \(x > -2\), итог:
\(x \in (-2, -1]\).
если основание \(a < 1\), то логарифм убывает, и решение будет иным.

2) \( \log_1(6 — x) > -2 \)

аналогично первому случаю, основание логарифма равно \(1\), что делает задачу некорректной. если предположить, что это опечатка и основание \(a > 1\), то решение следующее:

условие существования логарифма:
\(6 — x > 0 — x < 6\).

решаем неравенство:
\(\log_a(6 — x) > -2\).
основание \(a > 1\), поэтому логарифм возрастает, и
\(6 — x > a^{-2} — x < 6 — a^{-2}\).

с учетом условия \(x < 6\), итоговое решение зависит от значения \(a^{-2}\). например, если \(a = 10\), то \(10^{-2} = 0.01\), и
\(x < 5.99\).

3) \( \log_{0.3}(4x — 3) \geq \log_{0.3}(x + 3) \)

основание логарифма \(0.3 < 1\), поэтому логарифм убывает. значит, знак неравенства меняется при переходе к аргументам:
\(4x — 3 \leq x + 3\).

решаем это неравенство:
\(4x — x \leq 3 + 3\),
\(3x \leq 6\),
\(x \leq 2\).

условия существования логарифмов:
\(4x — 3 > 0 — x > 0.75\),
\(x + 3 > 0 — x > -3\).

итоговое решение:
\(x \in (0.75, 2]\).

4) \( \log_1(x^2 — 2x + 1) \geq -1 \)

основание логарифма снова равно \(1\), что делает задачу некорректной. если предположить, что это опечатка и основание \(a > 1\), то решение следующее:

условие существования логарифма:
\(x^2 — 2x + 1 > 0\).
распишем квадрат:
\((x — 1)^2 > 0\).

это выполняется для всех \(x \neq 1\).

решаем неравенство:
\(x^2 — 2x + 1 \leq a^{-1}\).

обозначим \(a^{-1} = c > 0\), тогда:
\(x^2 — 2x + (1 — c) \leq 0\).

найдем дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (1 — c) = 4 — 4 + 4c = 4c\).

корни уравнения:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4c}}{2} = 1 \pm \sqrt{c}\).

итоговое решение зависит от значения \(c = a^{-1}\):
\(x \in (1 — \sqrt{c}, 1 + \sqrt{c}) \setminus \{1\}\).