ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log_1(x^2 — 5x + 7) > 0\):
\(2 < x < 3\)

2) \(\log(x^2 — 6x + 8) < 0.5\):
\([1; 2) \cup (4; 5]\)

3) \(\log_{0.5}(x^2 + 3x) \leq -2\):
\([-4; -3) \cup (0; 1]\)

4) \(\log_{0.3}(x^2 — 2x + 1) \geq 0\):
\([0; 1) \cup (1; 2]\)

5) \(\log_4\left(\frac{3x — 1}{x — 1}\right) \leq 1\):
\((-\infty; \frac{1}{3}) \cup [3; +\infty)\)

6) \(\log_1\left(\frac{2x — 1}{3x + 1}\right) > 1\):
\((\frac{1}{2}; 3)\)

1) \(\log_1(x^2 — 5x + 7) > 0\);
\(x^2 — 5x + 7 < 1\), \(x^2 — 5x + 6 < 0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\), тогда: \(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\)
\((x — 2)(x — 3) < 0\), \(2 < x < 3\);
Область определения:
\(x^2 — 5x + 7 > 0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 7 = -3\); \(D < 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\);
Ответ: \((2; 3)\).
2) \(\log(x^2 — 6x + 8) < 0.5\);
\(x^2 — 6x + 8 < 3\), \(x^2 — 6x + 5 = 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\), тогда:
\(x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5\)
\((x — 1)(x — 5) < 0\), \(1 < x < 5\);
Область определения:
\(x^2 — 6x + 8 > 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = 4\)
\((x — 2)(x — 4) > 0\), \(x < 2\), \(x > 4\);
Ответ: \([1; 2) \cup (4; 5]\).

3) \(\log_{0.5}(x^2 + 3x) \leq -2\);
Creshak.ru
\(x^2 + 3x \leq 4\), \(x^2 + 3x — 4 \leq 0\);
\(D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда:
\(x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\);
\((x + 4)(x — 1) < 0\), \(-4 < x < 1\);
Область определения:
\(x^2 + 3x > 0\); \(x(x + 3) > 0\);
\(x < -3\), \(x > 0\);
Ответ: \([-4; -3) \cup (0; 1]\).

4) \(\log_{0.3}(x^2 — 2x + 1) \geq 0\);
\(x^2 — 2x + 1 \geq 1\), \(x^2 — 2x \geq 0\);
\(x(x — 2) \geq 0\), \(0 \leq x \leq 2\);
Область определения:
\(x^2 — 2x + 1 > 0\);
\((x — 1)^2 > 0\), \(x \neq 1\);
Ответ: \([0; 1) \cup (1; 2]\).

5) \(\log_4\left(\frac{3x — 1}{x — 1}\right) \leq 1\);
reshak.ru
\(\frac{3x — 1}{x — 1} \leq 4\),
\(\frac{3x — 1}{x — 1} — 4 \leq 0\);
\((3x — 1) — (4x — 4) \leq 0\), \(x — 1 \neq 0\);
\(x — 1 > 0\), \(x < 1\), \(x \geq 3\);
Область определения:
\(\frac{3x — 1}{x — 1} > 0\), \(x < 3\), \(x > 1\);
Ответ:
\((-\infty; \frac{1}{3}) \cup [3; +\infty)\)

6) \(\log_1\left(\frac{2x — 1}{3x + 1}\right) > 1\);
\(\frac{2x — 1}{3x + 1} < 1\),
\(2(3x + 1) — (4x — 2) > 0\);
\(3 — x > 0\),
\(3x + 1 > 0\), \(x — 3 < 0\), \(-\infty < x < 3\);
Область определения:
\(\frac{2x — 1}{3x + 1} > 0\),
\(x < -\frac{1}{3}\), \(x > \frac{1}{2}\);
Ответ: \((\frac{1}{2}; 3)\)