ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log_{0.3}(x^2 + x — 12) \geq \log_{0.3}(6x — 6)\):
\[ [3; 6] \]

2) \(\lg(x^2 — x) \leq \lg(3x — 3)\):
\[ [1; 3] \]

3) \(\log_{0.8}(1 — x^2) > \log_{0.8}(x^2 + 5x — 2)\):
\[ (0.5; 1) \]

4) \(2 \log_2(2x + 7) \geq 5 + \log_2(x + 2)\):
\[ (-2; -1.5] \cup [2.5; +\infty) \]

5) \(\log_3(x^2 — 2x — 3) \leq \log_3(x + 9)\):
\[ [-4; -3) \cup (1; 3] \]

6) \(\log_7(2x^2 + 3x + 1) = 2 \log_7(1 — x)\):
\[ [-5; -1) \cup (-0.5; 0] \]

1) \(\log_{0.3}(x^2 + x — 12) \geq \log_{0.3}(6x — 6)\)
\((x^2 + x — 12) \leq (6x — 6), (x^2 — 5x — 6) \leq 0\);
\(D = 5^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 + 24 = 49\), тогда:
\(x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6\);
\((x + 1)(x — 6) \leq 0, \quad -1 \leq x \leq 6\).

Область определения: \(x^2 + x — 12 > 0\);
\(D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), тогда:
\(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\);
\((x + 4)(x — 3) > 0, \quad x < -4, \quad x > 3\).

Ответ: \((3; 6]\).

2) \(\lg(x^2 — x) \leq \lg(3x — 3)\)
\((x^2 — x) \leq (3x — 3), (x^2 — 4x + 3) \leq 0\);
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\);
\((x — 1)(x — 3) \leq 0, \quad 1 \leq x \leq 3\).

Область определения: \(x^2 — x > 0\);
\(x(x — 1) > 0, \quad x < 0, \quad x > 1\).

Ответ: \([1; 3]\).

3) \(\log_{0.8}(1 — x^2) > \log_{0.8}(x^2 + 5x — 2)\)
\(1 — x^2 < x^2 + 5x — 2, \quad (2x^2 + 5x — 3) > 0\).

1.
\( D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = 0.5; \)
\( (x + 3)(x — 0.5) > 0, \quad x < -3, \quad x > 0.5; \)

Область определения:
\( 1 — x^2 > 0, \quad x^2 — 1 < 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) < 0; \)
\( -1 < x < 1; \)

Ответ: \( (0.5; 1). \)

4.
\( 2 \log_2(2x + 7) \geq 5 + \log_2(x + 2); \)
\( \log_2(2x + 7)^2 \geq \log_2(32(x + 2)); \)
\( 4x^2 + 28x + 49 \geq 32x + 64; \)
\( 4x^2 — 4x — 15 \geq 0; \)

\( D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{4 — \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = -1.5, \quad x_2 = \frac{4 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = 2.5; \)
\( (x + 1.5)(x — 2.5) \geq 0, \quad x \leq -1.5, \quad x \geq 2.5; \)

Область определения:
\( 2x + 7 > 0, \quad x > -3.5; \)
\( x + 2 > 0, \quad x > -2; \)

Ответ: \( (-2; -1.5] \cup [2.5; +\infty). \)

5.
\( \log_3(x^2 — 2x — 3) \leq \log_3(x + 9); \)
\( x^2 + 2x — 3 \leq x + 9, \quad x^2 + x — 12 \leq 0; \)

\( D = (-1)^2 + (-1)^2(-12) = 1 + 48 = 49, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = (-1 — \sqrt{7})/2, x_2 = (-1 + \sqrt{7})/2; \)

Область определения:
\(x^2 + 2x — 3 > 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\((x + 3)(x — 1) > 0,\) \(x < -3, \, x > 1;\)

Ответ: \([-4; -3) \cup (1; 3].\)

6) \(\log_7(2x^2 + 3x + 1) = 2 \log_7(1 — x);\)
\(
\log_7(2x^2 + 3x + 1) = \log_7((1 — x)^2);
\)
\(
2x^2 + 3x + 1 = 1 — 2x + x^2;
\)
\(
x(x + 5) < 0, \quad -5 < x < 0;
\)

Область определения:
\(2x^2 + 3x + 1 > 0;\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -0.5;
\)
\((x + 1)(x + 0.5) > 0,\) \(x < -1, \, x > -0.5;\)

\(1 — x > 0,\) \(x < 1;\)

Ответ: \([-5; -1) \cup (-0.5; 0].\)